Lösung.

Die $ \mbox{$A_n$}$ sind paarweise disjunkt, d.h. es gilt

$ \mbox{$\displaystyle P(A) = \sum_{n=0}^\infty P(A_n) = \sum_{n=0}^\infty \lef... ...n}-2^{-(2n+1)}\right) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty 2^{-2n} = \frac{2}{3}. $}$

Aus Symmetriegründen folgt $ \mbox{$P(B) = P(A) = \frac{2}{3}$}$.

Es gilt $ \mbox{$A\cap B\cap [0,\frac{1}{2}] = A\cap [0,\frac{1}{2}]$}$ und $ \mbox{$A\cap B\cap [\frac{1}{2},1] = B\cap [\frac{1}{2},1]$}$. Aus der disjunkten Vereinigung

$ \mbox{$\displaystyle A\cap B = (A\cap [0,\frac{1}{2}]) \cup (B\cap [\frac{1}{2},1]). $}$
folgt
$ \mbox{$\displaystyle P(A\cap B) = P(\bigcup_{n=1}^\infty A_n) + P(\bigcup_{n=1}^\infty B_n) = \frac{1}{3} \neq P(A)P(B). $}$

Die Ereignisse $ \mbox{$A$}$ und $ \mbox{$B$}$ sind also abhängig.