Lösung

Der Erwartungswert ist linear, also

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} {\operatorname{E}}(\bar{X}_n) &=& ... ... &=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mu\vspace*{1mm}\\ &=& \mu \; . \end{array}$}$

Da die $ \mbox{$X_i$}$ unabhängig sind, gilt

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} {\operatorname{Var}}(\bar{X}_n) &=... ...m_{i=1}^n \sigma^2\vspace*{1mm}\\ &=& \frac{\sigma^2}{n} \; . \end{array}$}$

Aufwendiger ist folgende Berechnung.

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} {\operatorname{E}}\bigl(\sum_{i=1}^... ...^2 -n\frac{\sigma^2}{n}\vspace*{1mm}\\ &=& (n-1)\sigma^2\; , \end{array}$}$
damit folgt
$ \mbox{$\displaystyle {\operatorname{E}}(S^2_n)\; = \; {\operatorname{E}}\bigl(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X}_n)^2\bigr)\; =\; \sigma^2\; . $}$