Aufgabe.

Gegeben sei eine Stichprobe $ \mbox{$X_1,\dots,X_n$}$, wobei die Dichte der $ \mbox{$X_i$}$ abhängig von einem zu schätzenden Parameter $ \mbox{$\vartheta\in[0,2]$}$ durch

$ \mbox{$\displaystyle f_\vartheta(x) = \begin{cases} \vartheta + 2\,(1-\vartheta)x & \text{ f\uml ur } 0\leq x\leq 1\\ 0 &\text{ sonst} \end{cases}$}$
gegeben sei.

  1. Berechne für festes $ \mbox{$\vartheta\in[0,2]$}$ die Größen $ \mbox{${\operatorname{E}}(X_i)$}$, $ \mbox{${\operatorname{E}}(X_i^2)$}$ und $ \mbox{${\operatorname{E}}(X_i^4)$}$.
  2. Zeige daß die beiden Schätzfunktionen
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} T_n(x_1,\dots,x_n) &=& 4 - \frac{6}... ...}\\ U_n(x_1,\dots,x_n) &=& 3 - \frac{6}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 \end{array} $}$
    erwartungstreu und konsistent für $ \mbox{$\vartheta$}$ sind.
  3. Gebe in Abhängigkeit von $ \mbox{$\vartheta$}$ an, welcher Schätzer die geringere Varianz hat (d.h. genauer ist).