Lösung.

  1. Da $ \mbox{${\operatorname{\mathcal{L}}}(t)(s) = -{\operatorname{\mathcal{L}}}(1)'(s) = \frac{1}{s^2}$}$, folgt $ \mbox{${\operatorname{\mathcal{L}}}(t\exp(-t))(s) = (s+1)^{-2}$}$.

  2. Aus $ \mbox{${\operatorname{\mathcal{L}}}(\cos(t))(s) = \frac{s}{s^2+1}$}$ und aus $ \mbox{${\operatorname{\mathcal{L}}}(\sin(t))(s) = -{\operatorname{\mathcal{L}}... ...(t))(s) = - (s{\operatorname{\mathcal{L}}}(\cos(t))(s) - 1) = \frac{1}{s^2+1}$}$ folgt
    $ \mbox{$\displaystyle \frac{1}{s^2}\frac{s+1}{s^2+1} \; =\; \frac{1}{s} + \fr... ...}{s^2+1} \; =\; {\operatorname{\mathcal{L}}}(1+t - \cos(t)-\sin(t))(s)\; . $}$

  3. Da für ganzzahliges $ \mbox{$a\geq 1$}$ gilt $ \mbox{${\operatorname{\mathcal{L}}}(t^a)(s) = s^{-1-a}\cdot{\mbox{const.}}$}$, berechnen wir einmal versuchsweise für $ \mbox{$a = -1/2$}$
    $ \mbox{$\displaystyle {\operatorname{\mathcal{L}}}(t^{-1/2})(s) \; =\; \int_0... ..., dt \; =\; 2 s^{-1/2}\int_0^\infty \exp(-u^2) \, du = \sqrt{\frac{\pi}{s}} $}$
    vermöge der Substitution $ \mbox{$u = \sqrt{st}$}$. Das gefällt uns, und wir erhalten $ \mbox{$f(t) = 1/\sqrt{\pi t}$}$.