Lösung.

Mit den Bezeichnungen $ \mbox{$Y := {\operatorname{\mathcal{L}}}(y)$}$, $ \mbox{$y(0) := y_0$}$ und $ \mbox{$y'(0) = y'_0$}$ wird die Gleichung unter Laplace-Transformation zu

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (s^2 Y(s) - s y_0 - y'_0) + 2 ( s Y(... ...+ 3) Y(s) - (s+3) \\ & \overset{!}{=} & \frac{6}{s-1}\; . \\ \end{array}$}$
Wir erhalten
$ \mbox{$\displaystyle {\operatorname{\mathcal{L}}}(\exp(t))(s) \; =\; Y(s) \; =\; \frac{6}{(s-1)(s^2+2s+3)} + \frac{s+3}{s^2+2s+3} \; =\; \frac{1}{s-1}\; . $}$
Mithin ist $ \mbox{$y(t) = \exp(t)$}$ die Lösung des Anfangswertproblems. Probe!