Lösung.

Mit $ \mbox{$Y := {\operatorname{\mathcal{L}}}(y)$}$ lautet die laplacetransformierte Gleichung

$ \mbox{$\displaystyle sY(s) - y(0) - \frac{2}{s+1} Y(s) = \frac{1}{s^2} \; . $}$
Damit wird
$ \mbox{$\displaystyle Y(s) \; =\; \frac{s+1}{s^2(s-1)(s+2)} = -\frac{3}{4s} - \frac{1}{2s^2} + \frac{2}{3(s-1)} + \frac{1}{12(s+2)} \; . $}$
Die Rücktransformierte
$ \mbox{$\displaystyle y(t) = -\frac{3}{4} - \frac{1}{2} t + \frac{2}{3} \exp(t) + \frac{1}{12}\exp(-2t) $}$
löst die ursprüngliche Gleichung. Probe!