Beispiel.

Es sei $ \mbox{$\overline x$}$ eine Extremale von $ \mbox{$I(x)=\int_a^b f(t,x(t),\dot x(t)) \; \text{d}t=\min$}$ .

Zeige:

  1. Ist $ \mbox{$f_{\dot x}(t,x,\dot x) \equiv \text{const.}$}$ auf ihrem Definitionsbereich, so ist $ \mbox{$f_x(t,\overline x(t),\dot{\overline x}(t)) \equiv 0$}$ auf $ \mbox{$[a,b]$}$ .
  2. Ist $ \mbox{$f_x(t,x,\dot x) \equiv 0$}$ auf ihrem Definitionsbereich, so ist $ \mbox{$f_{\dot x}(t,\overline x(t),\dot{\overline x}(t)) \equiv \text{const.}$}$ auf $ \mbox{$[a,b]$}$ .