Lösung.

  1. Gemäß dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist
    $ \mbox{$\displaystyle \int_0^1 \dot x \; \text{d}t = [x]_0^1 = x(1) - x(0) = 1 $}$
    für alle stückweise stetig differenzierbaren Funktionen $ \mbox{$x$}$ . Daher ist jede zulässige Funktion ein globales Minimum dieses Variationsproblems.

  2. Die Eulersche Differentialgleichung liefert zunächst als notwendige Bedingung für ein schwaches (lokales) Minimum (und damit insbesondere für ein globales Minimum)
    $ \mbox{$\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}t} t x = x + t \dot x = t \dot x, $}$
    d.h. $ \mbox{$x \equiv 0$}$ auf $ \mbox{$[0,1]$}$ . Es ist jedoch $ \mbox{$x \equiv 0$}$ kein globales Minimum dieses Variationsproblems. Betrachtet man etwa die Funktionenschar $ \mbox{$x_a(t) = a t^2 + (1-a) t$}$ , so gilt $ \mbox{$x_a \in C^1[0,1]$}$ , $ \mbox{$x_a(0)=0, \, x_a(1)=1$}$ , und ferner
    $ \mbox{$\displaystyle \int_0^1 t x_a \dot x_a \; \text{d}t = - \frac{1}{60} \, a^2 + \frac{1}{12} \, a + \frac{1}{3}, $}$
    wie man leicht nachrechnet. Damit strebt der Wert des Integrals gegen $ \mbox{$-\infty$}$ für $ \mbox{$a \to \infty$}$ . Daher besitzt dieses Variationsproblem kein globales Minimum.

  3. Es ist $ \mbox{$f(t,x,\dot x):=x^2(\dot x-1)^2 \in C^2$}$ und $ \mbox{$f_t \equiv 0$}$ . Nehmen wir an, es sei $ \mbox{$x \in C^2[-1,1]$}$ eine Extremale von $ \mbox{$I(x)=\min$}$ , so ist
    $ \mbox{$\displaystyle c = f_{\dot x} \dot x - f = 2 \dot x x^2 (\dot x - 1) - x^2 (\dot x - 1)^2 = x^2 (\dot x^2 - 1) $}$
    konstant. Wegen $ \mbox{$x(-1)=0$}$ ist $ \mbox{$c=0$}$ . Es folgt also $ \mbox{$x \equiv 0$}$ oder $ \mbox{$\dot x \equiv 1$}$ , d.h. $ \mbox{$x \equiv 0$}$ oder $ \mbox{$x(t)=t+\text{const}$}$ . Diese Funktionen erfüllen jedoch nicht die Randbedingungen unseres Variationsproblems, so dass es keine $ \mbox{$C^2$}$ -Funktion geben kann, die dieses Problem minimiert.

    Offensichtlich ist aber die Funktion $ \mbox{$\overline x$}$ mit $ \mbox{$\overline x \equiv 0$}$ auf $ \mbox{$[-1,0]$}$ und $ \mbox{$\dot {\overline x} \equiv 1$}$ auf $ \mbox{$(0,1]$}$ , d.h.

    $ \mbox{$\displaystyle \overline x(t) = \begin{cases} 0, & t \in [-1,0]\\ t, & t \in (0,1], \end{cases} $}$
    ein globales Minimum von $ \mbox{$I(x)$}$ . Es ist nämlich $ \mbox{$I(x) \geq 0$}$ für alle $ \mbox{$x \in C_s^1[-1,1]$}$ und $ \mbox{$I(\overline x)=0$}$ .