Lösung.

  1. Mit $ \mbox{$f_{\dot x}(t,x,\dot x) \equiv \text{const.}$}$ auf ihrem Definitionsbereich folgt aus der Eulerschen Differentialgleichung
    $ \mbox{$\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}t} f_{\dot x}(t,\overline x(t), \dot{\overline x}(t)) = 0 = f_x(t,\overline x(t), \dot{\overline x}(t)) $}$
    für alle $ \mbox{$t \in [a,b]$}$ .
  2. Mit $ \mbox{$f_x(t,x,\dot x) \equiv 0$}$ auf ihrem Definitonsbereich folgt aus der Eulerschen Differentialgleichung für alle $ \mbox{$t \in [a,b]$}$
    $ \mbox{$\displaystyle f_x(t,\overline x(t), \dot{\overline x}(t)) = 0 = \frac{\text{d}}{\text{d}t} f_{\dot x}(t,\overline x(t), \dot{\overline x}(t)). $}$
    Damit ist also $ \mbox{$f_{\dot x}(t,\overline x(t),\dot{\overline x}(t)) \equiv \text{const.}$}$ auf $ \mbox{$[a,b]$}$ .