Aufgabe.

Bestimme für die folgenden Variationsprobleme $ \mbox{$I(x)=\min$}$ alle Extremalen, die die Randbedingungen erfüllen.

  1. $ \mbox{$I(x)=\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1+\dot x^2}\;\text{d}t\,$}$ , $ \mbox{$x(0)=0$}$ .

  2. $ \mbox{$I(x)=\displaystyle\int_1^2 \frac{1}{t}\sqrt{1+\dot x^2}\;\text{d}t\,$}$ , $ \mbox{$x(1)=0,\, x(2)=1$}$ .

  3. $ \mbox{$I(x)=\displaystyle\int_{-1}^1 \left(t\dot x+x\left(x-t^2\right)\right)\;\text{d}t\,$}$ , $ \mbox{$x(-1)=1,\, x(1)=2$}$ .

  4. $ \mbox{$I(x)=\displaystyle\int_0^1 \left( \dot x^2 + x^2 - 2 x \sin t \right) \; \text{d}t\,$}$ , $ \mbox{$x(0)=x(1)=0$}$ .