Lösung.

Gemäß der Eulerschen Differentialgleichung gilt
$ \mbox{$\displaystyle \ddot x = x - t $}$
auf $ \mbox{$[0,1]$}$ .

Die allgemeine Lösung dieser linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung ist gegeben durch

$ \mbox{$\displaystyle x(t) = c_1 e^t + c_2 e^{-t} + t $}$
mit Konstanten $ \mbox{$c_1, c_2 \in \mathbb{R}$}$ . Die Randbedingungen des vorliegenden Variationsproblems führen auf die Gleichungen
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{lclclcl} c_1 &+& c_2 & & &=& 2\vspace{3mm}\\ c_1 e &+& c_2 e^{-1} &+& 1&=& e + e^{-1} + 1, \end{array}$}$
also folgt $ \mbox{$c_1=c_2=1$}$ . Es gibt somit genau eine Lösung der Eulerschen Differentialgleichung, die die Randbedingungen erfüllt. Diese ist gegeben durch
$ \mbox{$\displaystyle x(t) = e^t + e^{-t} + t. $}$