Lösung.

  1. Aus der Eulerschen Differentialgleichung folgt zunächst
    $ \mbox{$\displaystyle \frac{\dot x(t)}{\sqrt{1+\dot x(t)^2}}\,= c, \; t \in [0,1], $}$
    mit einer Konstanten $ \mbox{$c\in\mathbb{R}$}$ bis auf Ecken von $ \mbox{$x$}$ . Quadrieren wir diese Gleichung, so erhalten wir
    $ \mbox{$\displaystyle \dot x^2=c^2\left(1+\dot x^2\right) $}$
    und somit
    $ \mbox{$\displaystyle x(t)=\,\frac{\widetilde c}{\sqrt{1-\widetilde c^2}}\, t + d $}$
    mit $ \mbox{$\widetilde c\in (-1,1), d\in\mathbb{R}$}$ . Mit dem Anfangswert $ \mbox{$x(0)=0$}$ ergibt sich $ \mbox{$d=0$}$ , d.h. die Extremalen
    $ \mbox{$\displaystyle x(t)=\,\frac{\widetilde c}{\sqrt{1-\widetilde c^2}}\,t $}$
    für $ \mbox{$t\in [0,1]$}$ , $ \mbox{$\widetilde c\in (-1,1)$}$ .

  2. Da der Integrand nicht von $ \mbox{$x$}$ anhängt, folgt aus der Eulerschen Differentialgleichung
    $ \mbox{$\displaystyle \frac{\dot x(t)}{t\sqrt{1+\dot x(t)^2}}=c $}$
    mit einer Konstanten $ \mbox{$c\in\mathbb{R}$}$ für alle $ \mbox{$t\in [1,2]$}$ bis auf Ecken von $ \mbox{$x$}$ . Mit den Anfangswerten folgt daraus $ \mbox{$c>0$}$ sowie $ \mbox{$\dot x(t)>0$}$ für $ \mbox{$t\in [1,2]$}$ und wir erhalten
    $ \mbox{$\displaystyle \frac{\dot x(t)}{1+\dot x(t)^2}=c^2t^2\iff \dot x(t)^2=\frac{c^2t^2}{1-c^2t^2}\iff \dot x(t)=\frac{ct}{\sqrt{1-c^2t^2}} $}$
    für $ \mbox{$t\in [1,2]$}$ . Also ist
    $ \mbox{$\displaystyle x(t)=-\frac{1}{c}\sqrt{1-c^2t^2}+d $}$
    mit einer Konstanten $ \mbox{$d\in\mathbb{R}$}$ . Die Anfangswerte $ \mbox{$x(1)=0$}$ und $ \mbox{$x(2)=1$}$ liefern schließlich
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} 0&=&-\dfrac{1}{c}\sqrt{1-c^2}+d\vspace{3mm}\\ 1&=&-\dfrac{1}{c}\sqrt{1-4c^2}+d\,, \end{array}$}$
    woraus sich sofort die Gleichung
    $ \mbox{$\displaystyle \sqrt{1-c^2}=c+\sqrt{1-4c^2} $}$
    ergibt. Durch zweimaliges Quadrieren dieser Gleichung erhalten wir mit der Bedingung $ \mbox{$c>0$}$ die Lösung
    $ \mbox{$\displaystyle c=\frac{1}{\sqrt 5}\,,\quad d=2\,. $}$
    Die eindeutige Lösung des Problems ist also
    $ \mbox{$\displaystyle x(t)=-\sqrt{5-t^2}+2 $}$
    für $ \mbox{$t\in [1,2]$}$ .

  3. Die Eulersche Differentialgleichung liefert
    $ \mbox{$\displaystyle 1=2x(t)-t^2\iff x(t)=\frac{t^2+1}{2} $}$
    für $ \mbox{$t\in [-1,1]$}$ bis auf Ecken von $ \mbox{$x$}$ . Diese Funktion erfüllt jedoch nicht die Randbedingung $ \mbox{$x(1)=2\,$}$ , also gibt es keine Extremale, die die Randwertbedingungen erfüllt.

  4. Es sei $ \mbox{$x$}$ eine Extremale, also eine stetig differenzierbare Lösung der Eulerschen Differentialgleichung
    $ \mbox{$\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}t} 2 \dot x = 2 x - 2 \sin t. $}$
    Dann ist $ \mbox{$x \in C^2[0,1]$}$ und es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \ddot x = x - \sin t. $}$
    Dies ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung ist gegeben durch
    $ \mbox{$\displaystyle x(t) = c_1 e^{-t} + c_2 e^t, \; t \in [0,1], $}$
    mit Konstanten $ \mbox{$c_1, c_2 \in \mathbb{R}$}$ .
    Wir bestimmen nun eine partikuläre Lösung der gegeben Differentialgleichung. Dabei wählen wir als Ansatzfunktion
    $ \mbox{$\displaystyle x_p(t) = a \sin t + b \cos t, $}$
    $ \mbox{$a,b \in \mathbb{R}$}$ . Damit ist
    $ \mbox{$\displaystyle \ddot x_p(t) = - a \sin t - b \cos t \overset{!}{=} ( a - 1 ) \sin t + b \cos t, $}$
    d.h. eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist gegeben durch
    $ \mbox{$\displaystyle x_p(t) = \frac{\sin t}{2}. $}$
    Folglich lautet die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
    $ \mbox{$\displaystyle x(t) = c_1 e^{-t} + c_2 e^t + \frac{\sin t}{2}, \; t \in [0,1], $}$
    mit Konstanten $ \mbox{$c_1, c_2 \in \mathbb{R}$}$ .
    Im Hinblick auf die Anfangsbedingungen $ \mbox{$x(0)=x(1)=0$}$ lösen wir das lineare Gleichungssystem
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcrcrcl} c_1 & + & c_2 & & & = & 0\vspace{3mm}\\ c_1 e^{-1} & + & c_2 e & + & \frac{\sin 1}{2} & = & 0. \end{array}$}$
    Die Lösung dieses Gleichungssystems lautet $ \mbox{$c_1 = - c_2 = \frac{\sin 1}{2 (e - e^{-1})}$}$ , so daß die eindeutige Lösung der Eulerschen Differentialgleichung, die die Randbedingungen erfüllt, durch
    $ \mbox{$\displaystyle x(t) = \dfrac{\sin 1}{2 (e-e^{-1})} \, e^{-t} - \dfrac{\sin 1}{2 (e-e^{-1})} \, e^{t} + \frac{\sin t}{2}, \, t \in [0,1], $}$
    gegeben ist.