Lösung.

Es sei $ \mbox{$x \in C_s^1[-1,1]$}$ eine Funktion mit höchstens einer Ecke in dem Punkt $ \mbox{$t_0 \in (-1,1)$}$ , die der Eulerschen Differentialgleichung auf $ \mbox{$[-1,t_0)$}$ und $ \mbox{$(t_0,1]$}$ genügt. Ferner erfülle $ \mbox{$x$}$ die 1. Weierstraß-Erdmannsche Eckenbedingung und die Randbedingungen. Dann gilt aufgrund der Eulerschen Differentialgleichung:
$ \mbox{$\displaystyle 3 \dot x^2 = \text{const. auf } [-1,t_0) \text{ und auf } (t_0,1]. $}$
Folglich ist $ \mbox{$\dot x$}$ selbst konstant auf $ \mbox{$[-1,t_0)$}$ und auf $ \mbox{$(t_0,1]$}$ . Damit ist $ \mbox{$x$}$ von der Form
$ \mbox{$\displaystyle x(t) = \begin{cases} at+b, & t \leq t_0,\\ ct+d, & t > t_0 \end{cases}$}$
mit gewissen Konstanten $ \mbox{$a,b,c,d \in \mathbb{R}$}$ , die wir noch bestimmen möchten. Da $ \mbox{$x$}$ die 1. Weierstraß-Erdmannsche Eckenbedingung erfüllt, gilt ferner
$ \mbox{$\displaystyle \dot x^2(t_0-) = \dot x^2(t_0+). $}$
Zusammen mit den Randbedingungen und der Stetigkeit von $ \mbox{$x$}$ im Punkt $ \mbox{$t_0$}$ ergeben sich somit die folgenden Bedingungen an die Variablen $ \mbox{$a,b,c,d \in \mathbb{R}$}$ :
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} -a+b &=& 0\vspace{3mm}\\ c+d &=& ... ...e{3mm}\\ a t_0 + b &=& c t_0 + d\vspace{3mm}\\ a^2 &=& c^2. \end{array}$}$
Diesem Gleichungssystem entnehmen wir, daß $ \mbox{$x$}$ die folgende Gestalt besitzt:
$ \mbox{$\displaystyle x(t) = \begin{cases} \phantom{-}at+a, & t \leq 0,\\ -at+a, & t > 0, \end{cases}$}$
mit einer beliebigen Konstanten $ \mbox{$a \in \mathbb{R}$}$ . Wir bemerken jedoch, daß diese Funktion für kein $ \mbox{$a \in \mathbb{R}$}$ ein (schwaches) Minimum von $ \mbox{$I(x)$}$ mit $ \mbox{$x(-1)=x(1)=0$}$ ist.