Beispiel.

Ein Lichtstrahl emittiere von einem festen Punkt $ \mbox{$P_a$}$ und gehe durch ein Medium mit Brechungsindex $ \mbox{$n(t,x)>0$}$ . Schließlich ende der Lichtstrahl an der vertikalen Linie $ \mbox{$t=b$}$ .

Dann besagt das Fermatsche Prinzip, daß der Lichtstrahl in diesem Medium einen Weg einschlagen wird, bei dem die Zeit für den Durchlauf am geringsten ist. Das zugehörige Variationsproblem lautet also

$ \mbox{$\displaystyle I(x) = \int_a^b n(t,x(t)) \sqrt{1+\dot x^2(t)} \, \text{d}t=\min, \quad x(a)=x_0, \; x(b) \text{ \glqq frei\grqq}. $}$

Zeige, daß der Lichtstrahl senkrecht auf die vertikale Linie $ \mbox{$t=b$}$ trifft.