Lösung.

Für den Integranden $ \mbox{$f(t,x,\dot x):=\dot x^2+x^2$}$ gilt $ \mbox{$f_{\dot x\dot x}=2>0$}$ , also besitzt jedes schwache (lokale) Minimum keine Ecken. Deshalb erfüllen schwache (lokale) Minima die Eulersche Differentialgleichung

$ \mbox{$\displaystyle \ddot x=x $}$
auf $ \mbox{$[0,1]$}$ . Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung lautet
$ \mbox{$\displaystyle x(t)=c_1\sinh t+c_2\cosh t\,. $}$
Mit der Randbedingung $ \mbox{$x(0)=1$}$ folgt $ \mbox{$c_2=1$}$ . Da $ \mbox{$x(1)$}$ frei ist, gilt die natürliche Randbedingung
$ \mbox{$\displaystyle f_{\dot x}(1,x(1),\dot x(1))=2\dot x(1)=0\,, $}$
also erhalten wir $ \mbox{$\dot x(1)=0$}$ . Damit folgt $ \mbox{$c_1=-\frac{\sinh 1}{\cosh 1}$}$ .

Der einzige Kandidat für ein schwaches (lokales) Minimum von $ \mbox{$I(x)$}$ ist also

$ \mbox{$\displaystyle x(t)=-\tfrac{\sinh 1}{\cosh 1} \sinh t + \cosh t\,. $}$