Lösung.

Es sei $ \mbox{$\overline x$}$ ein schwaches (lokales) Minimum des gegebenen Problems. Die Eulersche Differentialgleichung liefert $ \mbox{$\ddot{\overline x} \equiv 0$}$ auf $ \mbox{$\left[0,\overline b\right]$}$ , d.h. es ist $ \mbox{$\overline x(t) = c t + d$}$ , $ \mbox{$c, d \in \mathbb{R}$}$ , $ \mbox{$t \in \left[0,\overline b\right]$}$ .

Mit $ \mbox{$\overline{x}(0)=0$}$ folgt unmittelbar $ \mbox{$d=0$}$ , d.h. es ist $ \mbox{$\overline{x}(t) = c t$}$ . Ferner folgt mit der rechten Randbedingung $ \mbox{$\overline{x}(\overline b)=\overline bc=\overline b^2+1$}$ . Schließlich liefert die Transversalitätsbedingung

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} 0 &=& \dot{\overline x}(\overline ... ...line x}(\overline b)^2\vspace{3mm}\\ &=& 4\overline bc-c^2. \end{array} $}$
Das Gleichungssystem
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \overline bc &=& \overline b^2+1\vspace{3mm}\\ 0 &=& 4\overline bc-c^2 \end{array} $}$
besitzt genau die Lösungen $ \mbox{$\overline b = \pm \frac{1}{\sqrt 3}, \; c = \pm \frac{4}{\sqrt 3}$}$ . Da wir $ \mbox{$b > 0$}$ vorausgesetzt haben, ist also
$ \mbox{$\displaystyle \overline x(t) = \tfrac{4}{\sqrt 3} \, t, \; t \in \left[0, \tfrac{1}{\sqrt 3}\right], $}$
der einzige Kandidat für ein schwaches (lokales) Minimum.