Lösung.

Wir definieren

$ \mbox{$\displaystyle f(t,x,\dot x):=2x\sin t+\dot x^2, \quad g(t,x,\dot x):=x $}$
und erhalten mit der Eulerschen Differentialgleichung für $ \mbox{$\int_0^\pi (f+\lambda g) \,\text{d}t$}$
$ \mbox{$\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(2\dot x\right)=2\sin t+\lambda\,. $}$
Beachte, daß ein schwaches (lokales) Minimum von $ \mbox{$\int_0^\pi f \, \text{d}t=\min$}$ demnach keine Ecke besitzt, daß also die obige Gleichung auf dem gesamten Intervall $ \mbox{$[0,\pi]$}$ gilt. Folglich ist
$ \mbox{$\displaystyle \ddot x(t)=\sin t+\tfrac{\lambda}{2}\ \text{ auf } [0,\pi]\,, $}$
also
$ \mbox{$\displaystyle x(t)=-\sin t + \tfrac{\lambda}{4}\,t^2 + ct + d $}$
mit noch zu bestimmenden Konstanten $ \mbox{$\lambda,c,d\in\mathbb{R}\,$}$ , $ \mbox{$t \in [0,\pi]\,$}$ . Aufgrund der Randbedingungen folgt
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} x(0) &=& d=0\vspace{3mm}\\ x(\pi... ...{\lambda}{4}\pi^2+c\pi=0\ \ \iff\ \ c=-\frac{\lambda}{4}\pi\,. \end{array} $}$
Die Nebenbedingung liefert
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} {\displaystyle \int_0^\pi}\left(-\s... ... -2+\frac{\lambda}{12}\pi^3+\frac{c}{2}\pi^2\overset{!}{=}1\,, \end{array} $}$
also die Gleichung
$ \mbox{$\displaystyle \frac{\lambda}{12}\pi^3-\frac{\lambda}{8}\pi^3=3\ \ \iff\ \ \lambda=-\frac{72}{\pi^3}\,. $}$
Hieraus erhalten wir $ \mbox{$c=\frac{18}{\pi^2}$}$ und den Kandidaten
$ \mbox{$\displaystyle x(t)=-\sin t-\frac{18}{\pi^3}t^2+\frac{18}{\pi^2}t $}$
für ein schwaches (lokales) Minimum des gegebenen Variationsproblems, der die Randbedingungen und Nebenbedingungen erfüllt. Um alle Kandidaten für ein schwaches (lokales) Minimum des Problems zu erhalten, betrachten wir noch die Eulersche Differentialgleichung für die Nebenbedingung, also
$ \mbox{$\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}t}g_{\dot x}=g_x \text{ (bis auf Ecken von }x)\,. $}$
Diese Bedingung erfüllt jedoch kein $ \mbox{$x\in C^1_s[0,\pi]\,$}$ , sodaß es keinen weiteren Kandidaten für ein schwaches (lokales) Minimum des Variationsproblems gibt.