Aufgabe.

Es sei das Variationsproblem

$ \mbox{$\displaystyle I(x) = \int_a^b f(t, x(t), \dot x(t)) \; \text{d}t = \min $}$
mit den separierten linearen Randbedingungen
$ \mbox{$\displaystyle \alpha_1 x(a) + \alpha_2 \dot x(a) = \beta_1 x(b) + \b... ...1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2 \in \mathbb{R}, \; \alpha_2, \beta_2 \neq 0 $}$
und eine Funktion $ \mbox{$f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$}$ mit $ \mbox{$f, f_x, f_{\dot x} \in C(\mathbb{R}^3)$}$ gegeben.

Zeige: Ist $ \mbox{$\overline x$}$ ein schwaches (lokales) Minimum von $ \mbox{$I(x)$}$ , so gelten die natürlichen Randbedingungen

$ \mbox{$\displaystyle f_{\dot x}(a,\overline x(a),\dot{\overline x}(a))=0,\quad f_{\dot x}(b,\overline x(b),\dot{\overline x}(b))=0. $}$