Aufgabe.

Es sei

$ \mbox{$\displaystyle I(x)=\int_{t_0}^b p(t,x)\sqrt{1+\dot x^2}\,\text{d}t=\min,\quad x(t_0)=x_0,\ x(b)=\psi(b) $}$
mit einer Funktion $ \mbox{$\psi\in C^1(\mathbb{R})$}$ . Zeige: Falls für ein schwaches (lokales) Minimum $ \mbox{$\overline x:[t_0,\overline b]\to\mathbb{R}$}$ dieses Variationsproblems $ \mbox{$p(\overline b,\overline x(\overline b))\neq 0$}$ gilt, so folgt $ \mbox{$\dot{\overline x}(\overline b)\dot\psi(\overline b)=-1$}$ , d.h. $ \mbox{$\overline x$}$ trifft im rechten Randpunkt senkrecht auf $ \mbox{$\psi$}$ .