Aufgabe.

Als die phönizische Königstochter Dido im 9. Jahrhundert v. Chr. nach Lybien floh, versprach ihr ein dort ansässiger Häuptling soviel Land entlang der Küste, wie sie mit einer Kuhhaut umspannen konnte. Listig schnitt sie die Kuhhaut in einen hauchdünnen Streifen und konnte so ein großes Stück Land, heutzutage auch unter Karthago bekannt, markieren.

Sie stand also vor dem Problem, eine möglichst große Fläche mit einer Kurve vorgegebener Länge zu umschließen. Wir betrachten nun ein Variationsproblem dieser Form, nämlich

$ \mbox{$\displaystyle I(x)=\int_0^1 (-x)\,\text{d}t=\min, \quad x(0)=x(1)=0\,, $}$
unter der Nebenbedingung
$ \mbox{$\displaystyle J(x)=\int_0^1 \sqrt{1+\dot x^2}\,\text{d}t=\frac{\pi}{3}\,. $}$
Bestimme alle $ \mbox{$C^1$}$ -Kandidaten für ein schwaches (lokales) Minimum dieses Variationsproblems.