Variationsprobleme mit variablen Endpunkten sowie mit Nebenbedingungen.

Natürliche Randbedingungen.

Es sei das Variationsproblem

$ \mbox{$\displaystyle I(x):=\int_a^b f(t,x(t),\dot x(t))\,\text{d}t=\min $}$
ohne Randbedingungen gegeben (d.h. mit $ \mbox{$R\equiv 0$}$ ). Ist nun $ \mbox{$\overline x$}$ ein schwaches (lokales) Minimum von $ \mbox{$I(x)$}$ , so gelten die natürlichen Randbedingungen
$ \mbox{$\displaystyle f_{\dot x}(a,\overline x(a),\dot{\overline x}(a))=0,\quad f_{\dot x}(b,\overline x(b),\dot{\overline x}(b))=0. $}$
Ist $ \mbox{$R(a,b,x(a),x(b),\dot x(a),\dot x(b))$}$ lediglich unabhängig von $ \mbox{$x(a),\dot x(a)$}$ bzw. von $ \mbox{$x(b),\dot x(b)$}$ , so gilt entsprechend nur eine der natürlichen Randbedingungen.

Transversalitätsbedingungen.

Wir betrachten hier das Variationsproblem

$ \mbox{$\displaystyle I(x)=I(x;a,b):=\int_a^b f(t,x(t),\dot x(t))\,\text{d}t=\min $}$
mit ,,freien`` Endpunkten $ \mbox{$a,b$}$ , $ \mbox{$a<b$}$ . Die Randbedingungen dieses Problems sind gegeben durch $ \mbox{$x(a)=\varphi(a), x(b)=\psi(b)$}$ mit Funktionen $ \mbox{$\varphi, \psi \in C^1(\mathbb{R})$}$ .

Ein schwaches (lokales) Minimum dieses Problems ist eine Funktion $ \mbox{$\overline x$}$ , für die gilt: $ \mbox{$\overline x \in C^1_s[\overline a,\overline b], \; \overline a < \overl... ...ne a) = \varphi(\overline a), \; \overline x(\overline b) = \psi(\overline b)$}$ und es gibt ein $ \mbox{$\varepsilon > 0$}$ so, daß

$ \mbox{$\displaystyle \int_{\overline a}^{\overline b} f(t,\overline x(t),\do... ...erline x}(t)) \; \text{d} t \leq \int_a^b f(t,x(t),\dot x(t)) \; \text{d} t $}$
für alle $ \mbox{$a<b$}$ und zulässigen $ \mbox{$x$}$ mit
(i)
$ \mbox{$\vert a-\overline a\vert < \varepsilon$}$ , $ \mbox{$\left\vert b-\overline b\right\vert < \varepsilon$}$ .

(ii)
$ \mbox{$\sup\limits_{[a,b] \cap \left[\overline a,\overline b\right]} \{ \vert ... ...rline x(t)\vert + \vert\dot x(t) - \dot{\overline x}(t)\vert \} < \varepsilon$}$ .

(iii)
$ \mbox{$\vert\dot x(t) - \dot x(\overline a)\vert < \varepsilon$}$ für alle $ \mbox{$t \in [a,\overline a]$}$ , falls $ \mbox{$a < \overline a$}$ ,
$ \mbox{$\left\vert\dot x(t) - \dot x(\overline b)\right\vert < \varepsilon$}$ für alle $ \mbox{$t \in \left[\overline b,b\right]$}$ , falls $ \mbox{$\overline b < b$}$ .
Dabei heißt $ \mbox{$x$}$ zulässig, falls $ \mbox{$x \in C_s^1[a,b]$}$ und $ \mbox{$x(a)=\varphi(a), \; x(b) = \psi(b)$}$ gilt.

Ist $ \mbox{$\overline x:\left[\overline a,\overline b\right]$}$ ein schwaches (lokales) Minimum dieses Problems, so gelten

(i)
die Eulersche Differentialgleichung
$ \mbox{$\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}t} f_{\dot x}(t,\overline x(t), \dot{\overline x}(t)) = f_x(t,\overline x(t), \dot{\overline x}(t)) $}$
auf $ \mbox{$\left[\overline a,\overline b\right]$}$ bis auf die Ecken von $ \mbox{$\overline x$}$ und

(ii)
die Transversalitätsbedingungen
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{lclcl} f(\overline a, \overline x(\overl... ...t \psi(\overline b) - \dot{\overline x}(\overline b)) & = & 0. \end{array} $}$
Bei Randbedingungen der Form $ \mbox{$a$}$ fest, $ \mbox{$x(a)=x_a$}$ , $ \mbox{$b$}$ ,,frei``, $ \mbox{$x(b)=\psi(b)$}$ , gilt nur die Transversalitätsbedingung bei $ \mbox{$b$}$ ; falls $ \mbox{$b$}$ fest, $ \mbox{$x(b)=x_b$}$ , $ \mbox{$a$}$ ,,frei`` ist, $ \mbox{$x(a)=\varphi(a)$}$ , so gilt entsprechend nur die Transversalitätsbedingung bei $ \mbox{$a$}$ .

Die beiden Transversalitätsbedingungen sind also zwei weitere Gleichungen zur Bestimmung der beiden zusätzlichen freien Parameter $ \mbox{$a$}$ und $ \mbox{$b$}$ .

Isoperimetrische Probleme.

Unter einem isoperimetrischem Problem versteht man ein Variationsproblem

$ \mbox{$\displaystyle I(x):=\int_a^b f(t,x(t),\dot x(t))\,\text{d}t=\min,\quad x\in\mathcal R, $}$
mit einer Nebenbedingung der Form
$ \mbox{$\displaystyle J(x):=\int_a^b g(t,x(t),\dot x(t))\,\text{d}t=\ell. $}$
Dabei seien $ \mbox{$f,g:G \to \mathbb{R}, \; G \subset \mathbb{R}^3$}$ ein Gebiet, und es gelte $ \mbox{$f,f_x,f_{\dot x}, g,g_x,g_{\dot x} \in C(G)$}$ . Weiterhin schreiben wir $ \mbox{$x \in \mathcal R$}$ für eine zulässige Funktion $ \mbox{$x$}$ , die die Randbedingungen $ \mbox{$R(a,b,x(a),x(b),\dot x(a),\dot x(b))=0$}$ mit einer gegebenen Funktion $ \mbox{$R:\mathbb{R}^6 \to \mathbb{R}^2$}$ erfüllt.

Es sei nun $ \mbox{$\overline x \in C^1_s[a,b]$}$ ein schwaches (lokales) Minimum von $ \mbox{$I(x)=\min$}$ unter der Nebenbedingung $ \mbox{$J(x)=\ell$}$ und $ \mbox{$\overline x$}$ erfülle nicht die zu $ \mbox{$J(x)$}$ zugehörige Eulersche Differentialgleichung, d.h.

$ \mbox{$\displaystyle \frac{\text d}{\text d t} \; g_{\dot x}(t,\overline x(t),\dot{\overline x}(t)) \neq g_x(t,\overline x(t),\dot{\overline x}(t)) $}$
für ein $ \mbox{$t \in [a,b]$}$ , das keine Ecke von $ \mbox{$\overline x$}$ ist. Dann existiert ein $ \mbox{$\lambda \in \mathbb{R}$}$ so, daß $ \mbox{$\overline x$}$ die zu $ \mbox{$\int_a^b (f+\lambda g) \, \text{d}t$}$ zugehörige Eulersche Differentialgleichung erfüllt, d.h.
$ \mbox{$\displaystyle \frac{\text d}{\text d t} \; (f_{\dot x} + \lambda g_{... ... x}(t)) = (f_x + \lambda g_x)(t,\overline x(t),\dot{\overline x}(t)) $}$
für alle $ \mbox{$t \in [a,b]$}$ bis auf Ecken von $ \mbox{$\overline x$}$ . $ \mbox{$\lambda \in \mathbb{R}$}$ heißt dabei der Lagrange-Parameter und $ \mbox{$f + \lambda g$}$ die Lagrange-Funktion.

Kandidaten für ein schwaches (lokales) Minimum des isoperimetrischen Problems sind also zulässige Funktionen $ \mbox{$x$}$ , die entweder die Eulersche Differentialgleichung für $ \mbox{$\int_a^b (f+\lambda g) \, \text{d}t$}$ oder die Eulersche Differentialgleichung für $ \mbox{$J(x)$}$ (jeweils bis auf Ecken) und die Neben- und Randbedingungen erfüllen.