Lösung.

Wir bemerken zunächst, daß die Einschränkung $ \mbox{$\alpha_2, \beta_2 \neq 0$}$ notwendig ist. Es sei etwa das Variationsproblem

$ \mbox{$\displaystyle I(x) = \int_0^1 \dot x \; \text{d}t, \; x(0)=x(1)=0, $}$
gegeben. Dann ist jede Funktion $ \mbox{$x \in C^1_s[0,1]$}$ ein schwaches (lokales) Minimum von $ \mbox{$I(x) = x(1)-x(0) = 0$}$ , jedoch würde die natürliche Randbedingung für jedes solche $ \mbox{$x$}$ zu einem Widerspruch führen.

Wir argumentieren wie bei der ersten Variation. Hierbei addieren wir zu dem schwachen (lokalen) Minimum $ \mbox{$\overline x$}$ das $ \mbox{$\varepsilon$}$ -fache einer zulässigen Variation $ \mbox{$\eta$}$ , d.h. $ \mbox{$\eta \in C^1[a,b]$}$ mit

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \alpha_1 \eta(a) + \alpha_2 \dot ... ...\beta_1 \eta(b) + \beta_2 \dot \eta(b) = 0. \quad\quad (*) \end{array} $}$
Ferner sei $ \mbox{$F(\varepsilon):=I(\overline x + \varepsilon \eta)$}$ . Dann besitzt $ \mbox{$F(\varepsilon)$}$ für $ \mbox{$\varepsilon=0$}$ ein lokales Minimum. Daher ist mit partieller Integration und der Eulerschen Differentialgleichung
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} 0 & = & F'(0)\vspace{3mm}\\ &... ...ine x(a), \dot{\overline x}(a)) \eta(a) \quad\quad (\dag ) \end{array} $}$
Da $ \mbox{$\alpha_2 \neq 0$}$ ist, vermögen wir mittels der Hermite-Interpolation auf ein Polynom $ \mbox{$\eta_1$}$ zu schließen, für das gilt:
$ \mbox{$\displaystyle \eta_1 \text{ erf\uml ullt {$\mbox{$(*)$}$} und {$\mbox{$\eta_1(a) \neq 0, \eta_1(b) = 0$}$}}. $}$
Dann ist $ \mbox{$\eta_1$}$ eine zulässige Variation und mit $ \mbox{$(\dag )$}$ folgt
$ \mbox{$\displaystyle f_{\dot x}(a,\overline x(a), \dot{\overline x}(a)) = 0. $}$
Analog schließen wir mit $ \mbox{$\beta_2 \neq 0$}$ auf ein Polynom $ \mbox{$\eta_2$}$ , für das gilt:
$ \mbox{$\displaystyle \eta_2 \text{ erf\uml ullt {$\mbox{$(*)$}$} und {$\mbox{$\eta_2(a) = 0, \eta_2(b) \neq 0$}$}}. $}$
Dann ist $ \mbox{$\eta_2$}$ eine zulässige Variation und mit $ \mbox{$(\dag )$}$ folgt
$ \mbox{$\displaystyle f_{\dot x}(b,\overline x(b), \dot{\overline x}(b)) = 0. $}$