Lösung.

Wir definieren

$ \mbox{$\displaystyle f(t,x,\dot x):=-x\,, \quad g(t,x,\dot x):=\sqrt{1+\dot x^2}\,. $}$
Die Eulersche Differentialgleichung für $ \mbox{$\int_0^1 (f+\lambda g) \, \text{d}t$}$ liefert
$ \mbox{$\displaystyle \lambda\dot x=(c-t)\sqrt{1+\dot x^2} $}$
auf $ \mbox{$[0,1]$}$ für ein $ \mbox{$c\in\mathbb{R}\,$}$ . Daraus ergibt sich
$ \mbox{$\displaystyle \dot x^2=\frac{(c-t)^2}{\lambda^2-(c-t)^2} $}$
und somit
$ \mbox{$\displaystyle x=\pm\sqrt{\lambda^2-(c-t)^2}+d\ \ \iff\ \ (x-d)^2+(t-c)^2=\lambda^2\,. $}$
$ \mbox{$C^1$}$ -Kandidaten für ein schwaches (lokales) Minimum des Variationsproblems sind also gewisse Kreisbögen. Aus den Nebenbedingungen erhalten wir
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} d^2+c^2&=&\lambda^2\vspace{3mm}\\ d^2+(1-c)^2&=&\lambda^2 \end{array} $}$
und daraus $ \mbox{$c=\frac{1}{2}$}$ sowie die Gleichung $ \mbox{$d^2+\frac{1}{4}=\lambda^2\,$}$ . Ferner liefert die Nebenbedingung
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} {\displaystyle\int_0^1} \sqrt{1+\fr... ...bda}\right)\vspace{3mm}\\ &\overset{!}{=}& \frac{\pi}{3}\,. \end{array} $}$
Man überlegt sich, daß die einzigen Lösungen dieser Gleichung $ \mbox{$\lambda=\pm 1$}$ sind. Damit folgt $ \mbox{$d=\pm\frac{\sqrt 3}{2}\,$}$ und wir erhalten die zwei Kandidaten
$ \mbox{$\displaystyle x(t)=\pm\sqrt{1-\left(\tfrac{1}{2}-t\right)^2}\mp \tfrac{\sqrt 3}{2}\,. $}$
Diese Kandidaten sind (bekanntermaßen) Halbkreise. Wir betrachten nun noch die zur Nebenbedingung zugehörige Eulersche Differentialgleichung. Diese liefert
$ \mbox{$\displaystyle \ddot x = x-t $}$
auf $ \mbox{$[0,1]$}$ . Die allgemeine Lösung jener Differentialgleichung lautet
$ \mbox{$\displaystyle x(t)=c_1 e^t + c_2 e^{-t} + t $}$
mit Konstanten $ \mbox{$c_1, c_2 \in \mathbb{R}$}$ . Die Randbedingungen des vorliegenden Variationsproblems führen auf die Gleichungen
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{ccccccl} c_1 &+& c_2 && &=& 0\vspace{3mm}\\ c_1 e &+& c_2 e^{-1} &+& 1 &=& 0, \end{array} $}$
d.h. es ist $ \mbox{$c_1 = \frac{1}{e^{-1}-e}$}$ und $ \mbox{$c_2 = \frac{1}{e-e^{-1}}\,$}$ . Die eindeutige Lösung der Eulerschen Differentialgleichung
$ \mbox{$\displaystyle x(t) = \tfrac{1}{e^{-1}-e} \left(e^t - e^{-t}\right) +t = t - \, \tfrac{\sinh t}{\sinh 1} $}$
erfüllt jedoch nicht die Nebenbedingung
$ \mbox{$\displaystyle \int_0^1 \sqrt{1+\dot x^2} \, \text{d}t = \tfrac \pi 3\, . $}$
Es kommen also durch die Betrachtung der zur Nebenbedingung zugehörigen Eulerschen Differentialgleichung keine weiteren Kandidaten für ein schwaches (lokales) Minimum des vorliegenden Variationsproblems hinzu.