Die notwendigen Bedingungen von Weierstraß und Legendre.

Wir betrachten weiterhin das Variationsproblem $ \mbox{$\int_a^b f(t,x(t),\dot x(t)) \, \text{d}t=\min, x \in \mathcal{R}$}$ , mit $ \mbox{$f, f_x, f_{\dot x} \in C(G)$}$ , wobei $ \mbox{$G \subset \mathbb{R}^3$}$ ein Gebiet ist.

Weierstraß'sche notwendige Bedingung.

Für $ \mbox{$(t,x,w_1), (t,x,w_2) \in G$}$ heißt

$ \mbox{$\displaystyle E=E(t,x,w_1,w_2) := f(t,x,w_2) - f(t,x,w_1) + f_{\dot x}(t,x,w_1) (w_1 - w_2) $}$
die Weierstraß'sche Exzess-Funktion (oder auch E-Funktion).

Die Weierstraß'sche notwendige Bedingung besagt, daß für ein starkes(!) (lokales) Minimum $ \mbox{$\overline x \in C_s^1[a,b]$}$ von $ \mbox{$I(x)=\min$}$ , $ \mbox{$x\in\mathcal R$}$ , gilt:

$ \mbox{$\displaystyle E(t,\overline x(t),\dot{\overline x}(t),w)\geq 0\ \text{ f\uml ur alle } t\in [a,b]\text{ mit } (t,\overline x(t),w)\in G. $}$

Dies bedeutet, daß $ \mbox{$f(t,x,\dot x)$}$ als Funktion von $ \mbox{$\dot x$}$ (bei festem $ \mbox{$(t,x)$}$ ) konvex ist.

Für ein schwaches (lokales) Minimum $ \mbox{$\overline x\in C^1[a,b]$}$ von $ \mbox{$I(x)=\min$}$ , $ \mbox{$x\in\mathcal R$}$ , gibt es ein $ \mbox{$\varepsilon>0$}$ so, daß

$ \mbox{$\displaystyle E(t,\overline x(t),\dot{\overline x}(t),w)\geq 0\ \text... ... [a,b]\text{ mit } \left\vert\dot{\overline x}(t)-w\right\vert<\varepsilon. $}$

2. Weierstraß-Erdmannsche Eckenbedingung.

Ist $ \mbox{$\overline x \in C_s^1[a,b]$}$ ein starkes (lokales) Minimum von $ \mbox{$I(x)=\min, x \in \mathcal{R}$}$ , so ist

$ \mbox{$\displaystyle H(t) := f(t,\overline x(t),\dot{\overline x}(t))- f_{\dot x}(t,\overline x(t),\dot{\overline x}(t)) \cdot \dot{\overline x}(t) $}$
stetig auf $ \mbox{$[a,b]$}$ , d.h. für die Ecken $ \mbox{$t_1, \ldots, t_n$}$ von $ \mbox{$\overline x$}$ gilt:
$ \mbox{$\displaystyle H(t_\nu+)=H(t_\nu-), \quad \nu=1,\ldots,n. $}$

Legendre-Bedingung.

Zusätzlich zu den Voraussetzungen am Anfang dieses Abschnitts sei $ \mbox{$f_{\dot x \dot x}$}$ existent und $ \mbox{$\in C(G)$}$ . Ist dann $ \mbox{$\overline x \in C_s^1[a,b]$}$ ein schwaches (lokales) Minimum von $ \mbox{$I(x)=\min, x \in \mathcal{R}$}$ , so gilt:

$ \mbox{$\displaystyle f_{\dot x \dot x}(t,\overline x(t),\dot{\overline x}(t)) \geq 0\ \text{ f\uml ur alle } t \in [a,b]. $}$