Lösung.

  1. Die Weierstraß'sche notwendige Bedingung für starke (lokale) Minima $ \mbox{$\overline x$}$ von $ \mbox{$I(x)$}$ besagt, daß die Weierstraß'sche Exzess-Funktion
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} E(t,\overline x(t),\dot{\overline x... ...(w + 2\, \dot{\overline x}(t) \right)\vspace{3mm}\\ &\geq&0 \end{array} $}$
    für alle $ \mbox{$w \in \mathbb{R}$}$ und für alle $ \mbox{$t \in [0,1]$}$ ist. Da dies jedoch offensichtlich nicht der Fall ist, besitzt $ \mbox{$I(x)$}$ kein starkes (lokales) Minimum.

  2. Wir zeigen zunächst, daß ein schwaches (lokales) Minimum $ \mbox{$\overline x$}$ des gegeben Variationsproblems stetig differenzierbar auf $ \mbox{$[0,1]$}$ ist. Gemäß der 1. Weierstraß-Erdmannschen Eckenbedingung ist $ \mbox{$\dot{\overline x}^2$}$ stetig auf $ \mbox{$[0,1]$}$ . Mit der Legendre-Bedingung $ \mbox{$\dot{\overline x}\geq 0$}$ folgt, daß auch $ \mbox{$\dot{\overline x}$}$ stetig auf $ \mbox{$[0,1]$}$ ist.

    Nach der Eulerschen Differentialgleichung ist $ \mbox{$\dot{\overline x} \equiv \text{const.}$}$ auf $ \mbox{$[0,1]$}$ , so daß ein schwaches (lokales) Minimum von $ \mbox{$I(x)$}$ linear auf $ \mbox{$[0,1]$}$ ist. Im Hinblick auf die Randbedingungen erhalten wir somit den einzigen Kandidaten $ \mbox{$\overline x(t)=t$}$ für $ \mbox{$t \in [0,1]$}$ .