Beispiel.

Es sei das Variationsproblem

$ \mbox{$\displaystyle I(x) = \int_1^2 \frac{\dot x^2}{x} \, \text{d}t = \min, \quad x(1)=1,\; x(2)=4\,, $}$
gegeben.
  1. Zeige, daß die Lösungen der Eulerschen Differentialgleichung, die zulässig sind, dreimal stetig differenzierbar sind. Genauer: Zeige, daß diese gewisse Polynome maximal zweiten Grades sind.
  2. Untersuche die Kandidaten für das gegebene Variationsproblem auf schwache (lokale) Minima.