Beispiel.

Es seien $ \mbox{$A, B, C \in C(\mathcal{I}), \; \mathcal{I}$}$ ein Intervall.

  1. Es sei $ \mbox{$(u,v)$}$ eine Lösung des linearen Hamiltonschen Systems
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \dot u &=& A u + B v,\vspace{3mm}\\ \dot v &=& Cu - A^{\text{t}} v \end{array} \quad\quad (*) $}$
    mit $ \mbox{$u(t) \neq 0$}$ für alle $ \mbox{$t \in \mathcal{I}$}$ .
    Zeige: $ \mbox{$q(t):=\frac{v(t)}{u(t)}$}$ löst die Riccati-Gleichung
    $ \mbox{$\displaystyle \dot q + A^{\text{t}} q + q A + B q^2 - C = 0 \quad\quad (\dag ) $}$
    auf $ \mbox{$\mathcal{I}$}$ .
  2. Es löse umgekehrt $ \mbox{$q$}$ die Gleichung $ \mbox{$(\dag )$}$ auf $ \mbox{$\mathcal{I}$}$ . Ferner sei $ \mbox{$u$}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung $ \mbox{$\dot u = (A+Bq)u$}$ , und es sei $ \mbox{$v:=qu$}$ .
    Zeige: $ \mbox{$(u,v)$}$ löst das lineare Hamiltonsche System $ \mbox{$(*)$}$ auf $ \mbox{$\mathcal{I}$}$ .