Lösung.

Da $ \mbox{$f_{\dot x\dot x}(t,x,\dot x) = 2 > 0$}$ gilt, besitzt jedes schwache (lokale) Minimum des gegebenen Variationsproblems keine Ecken gemäß der 1. Weierstraß-Erdmannschen Eckenbedinung. Die Eulersche Differentialgleichung liefert somit

$ \mbox{$\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}t}\,\dot x = -x+e^t $}$
auf $ \mbox{$[0,1]$}$ und führt auf die inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
$ \mbox{$\displaystyle \ddot x = -x+e^t\,. $}$
Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung lautet
$ \mbox{$\displaystyle x(t) = c_1 \sin t + c_2 \cos t + \frac 1 2 \, e^t\,. $}$
Im Hinblick auf die Randbedingungen erhalten wir somit den eindeutigen Kandidaten
$ \mbox{$\displaystyle \overline x(t) = \frac{1}{2}\,\left(e^t - \cos t\right) $}$
für ein schwaches (lokales) Minimum des gegebenen Variationsproblems. Da ferner die verschärfte Legendre-Bedingung $ \mbox{$f_{\dot x\dot x}(t,\overline x(t), \dot{\overline x}(t)) = 2 > 0$}$ auf $ \mbox{$[0,1]$}$ erfüllt ist, berechnen wir die Hauptlösung des zugehörigen Hamiltonschen Systems
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \dot u&=& A(t)u+B(t)v\vspace{3mm}\\ \dot v&=& C(t)u-A^\text{t}(t)v \end{array} $}$
mit
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcccr} A(t)&=&-\frac{r(t)}{p(t)}&=&0\,,\... ...2\,,\vspace{3mm}\\ C(t)&=&q(t)-\frac{r^2(t)}{p(t)}&=&-2\,, \end{array} $}$
wobei
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclcr} p(t)&=&f_{\dot x\dot x}(t,\overli... ... q(t)&=&f_{xx}(t,\overline x(t),\dot{\overline x}(t))&=&-2\,. \end{array} $}$
Das Hamiltonsche System
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcr} \dot u&=& \frac 1 2 v\vspace{3mm}\\ \dot v&=& -2u \end{array} $}$
führt uns auf die homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
$ \mbox{$\displaystyle \ddot u = -u\,. $}$
Die Hauptlösung $ \mbox{$(u_0,v_0)$}$ dieses Hamiltonschen Systems, d.h. die Lösung des Systems zu den Anfangswerten $ \mbox{$u_0(0)=0, v_0(0)=2 \dot u_0(0)=1$}$ , lautet
$ \mbox{$\displaystyle (u_0,v_0) = \left(\frac{\sin t}{2}, \cos t\right)\,. $}$
Da $ \mbox{$u_0(t)>0$}$ für alle $ \mbox{$t \in (0,1]$}$ gilt, ist $ \mbox{$\overline x$}$ ein schwaches (lokales) Minimum.