Lösung.

Die Eulersche Differentialgleichung liefert die inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

$ \mbox{$\displaystyle \ddot x = -9\pi^2x+9\pi^2 $}$
auf $ \mbox{$[0,\frac{1}{2}]$}$ . Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung lautet
$ \mbox{$\displaystyle x(t) = c_1 \sin(3\pi t) + c_2 \cos(3\pi t) + 1 $}$
mit beliebigen Konstanten $ \mbox{$c_1,c_2\in\mathbb{R}$}$ . Im Hinblick auf die Randbedingungen erhalten wir somit den eindeutigen Kandidaten
$ \mbox{$\displaystyle \overline x(t) = \sin(3\pi t) - \cos(3\pi t) + 1 $}$
für ein schwaches (lokales) Minimum des gegebenen Variationsproblems. Da ferner die verschärfte Legendre-Bedingung $ \mbox{$f_{\dot x\dot x}(t,\overline x(t), \dot{\overline x}(t)) = 2 > 0$}$ auf $ \mbox{$[0,\frac{1}{2}]$}$ erfüllt ist, berechnen wir die Hauptlösung des zugehörigen Hamiltonschen Systems
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \dot u&=& A(t)u+B(t)v\vspace{3mm}\\ \dot v&=& C(t)u-A^\text{t}(t)v \end{array} $}$
mit
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcccc} A(t)&=&-\frac{r(t)}{p(t)}&=&0\,,\... ...space{3mm}\\ C(t)&=&q(t)-\frac{r^2(t)}{p(t)}&=&-18\pi^2\,, \end{array} $}$
wobei
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclcc} p(t)&=&f_{\dot x\dot x}(t,\overli... ...&=&f_{xx}(t,\overline x(t),\dot{\overline x}(t))&=&-18\pi^2\,. \end{array} $}$
Das Hamiltonsche System
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcc} \dot u&=& \frac 1 2 v\vspace{3mm}\\ \dot v&=& -18\pi^2 u \end{array} $}$
führt uns auf die homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
$ \mbox{$\displaystyle \ddot u = -9\pi^2 u\,. $}$
Die Hauptlösung $ \mbox{$(u_0,v_0)$}$ dieses Hamiltonschen Systems, d.h. die Lösung des Systems zu den Anfangswerten $ \mbox{$u_0(0)=0, v_0(0)=2 \dot u_0(0)=1$}$ , lautet
$ \mbox{$\displaystyle (u_0,v_0) = \left(\frac{1}{6\pi}\sin(3\pi t), \cos(3\pi t)\right)\,. $}$
Da $ \mbox{$u_0(t)=0$}$ für $ \mbox{$t=\frac{1}{3}\in (0,\frac{1}{2})$}$ gilt, ist die notwendige Bedingung von Jacobi verletzt. $ \mbox{$\overline x$}$ ist somit kein schwaches (lokales) Minimum.