Lösung.

Zunächst sei bemerkt, daß zulässige Funktionen $ \mbox{$x$}$ des Variationsproblems aufgrund des Integranden von $ \mbox{$I(x)$}$ keine Nullstellen besitzen. Die Randbedingungen implizieren somit, daß $ \mbox{$x(t)>0$}$ für alle $ \mbox{$t \in [0,1]$}$ gilt.

  1. Es sei $ \mbox{$x$}$ eine zulässige Funktion des gegebenen Variationsproblems, die die Eulersche Differentialgleichung erfüllt, d.h. es ist
    $ \mbox{$\displaystyle \frac{2 \dot x}{x} = - \int_1^t \, \frac{\dot x^2}{x^2} \, \text{d}\tau + c \text{ bis auf endlich viele Punkte}. $}$
    Wir erkennen, daß die rechte Seite dieser Gleichung stetig auf $ \mbox{$[1,2]$}$ ist. Da $ \mbox{$x$}$ als zulässige Funktion ebenfalls stetig auf $ \mbox{$[1,2]$}$ ist, folgt auch, daß $ \mbox{$\dot x$}$ stetig auf $ \mbox{$[1,2]$}$ ist, d.h. es ist $ \mbox{$x \in C^1[1,2]$}$ .

    Da damit die rechte Seite der Gleichung

    $ \mbox{$\displaystyle \dot x = - \, \frac x 2 \, \int_1^t \, \frac{\dot x^2}{x^2} \, \text{d}\tau + c $}$
    differenzierbar ist, erhalten wir aus der Eulerschen Differentialgleichung die implizite Differentialgleichung zweiter Ordnung
    $ \mbox{$\displaystyle 2 \ddot x x = \dot x^2 \text{ auf } [1,2]. \quad\quad(*) $}$
    Da $ \mbox{$x$}$ keine Nullstelle besitzt, ist $ \mbox{$\ddot x$}$ differenzierbar auf $ \mbox{$[1,2]$}$ und somit $ \mbox{$x \in C^2[1,2]$}$ . Differenzieren wir diese Gleichung, so erhalten wir
    $ \mbox{$\displaystyle \dddot{x} = 0 \text{ auf } [1,2]. $}$
    Damit ist eine zulässige Funktion $ \mbox{$x$}$ , die die Eulersche Differentialgleichung erfüllt, ein Polynom höchstens vom Grad $ \mbox{$2$}$ . Also ist $ \mbox{$x$}$ von der Form
    $ \mbox{$\displaystyle x(t) = c_1 t^2 + c_2 t + c_3, \quad t \in [1,2], $}$
    mit Konstanten $ \mbox{$c_1,c_2,c_3\in\mathbb{R}$}$ . Setzen wir diesen Ausdruck in die Gleichung $ \mbox{$(*)$}$ ein, so erhälten wir die folgenden Fälle. Entweder ist $ \mbox{$x$}$ konstant, oder es ist
    $ \mbox{$\displaystyle x(t) = \widetilde c_1 \left( t + \widetilde c_2 \right)^2\,, \quad t \in [1,2], $}$
    mit Konstanten $ \mbox{$\widetilde c_1,\widetilde c_2\in\mathbb{R}$}$ .
  2. Die Lösungen aus Aufgabenteil 1., die die Randbedingungen erfüllen, sind gegeben durch $ \mbox{$\overline x_1(t) = t^2$}$ und $ \mbox{$\overline x_2(t) = 9 (t - \frac 4 3)^2$}$ . $ \mbox{$\overline x_2$}$ hat aber auf dem Intervall $ \mbox{$[1,2]$}$ eine Nullstelle, ist also offensichtlich keine zulässige Funktion für das gegebene Variationsproblem $ \mbox{$I(x)$}$ . Demnach beschränken wir unsere weiteren Untersuchungen auf $ \mbox{$\overline x_1$}$ .

    Die verschärfte Legendre-Bedingung

    $ \mbox{$\displaystyle f_{\dot x\dot x}(t,\overline x_1(t), \dot{\overline x_1}(t)) = \frac{2}{\overline x_1(t)} > 0 \quad\text{auf }[1,2] $}$
    ist erfüllt, also berechnen wir die Hauptlösung des zugehörigen Hamiltonschen Systems
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \dot u&=& A(t)u+B(t)v\vspace{3mm}\\ \dot v&=& C(t)u-A^\text{t}(t)v \end{array} $}$
    mit
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcccc} A(t)&=&-\frac{r(t)}{p(t)}&=&-\fra... ...2}\,,\vspace{3mm}\\ C(t)&=&q(t)-\frac{r^2(t)}{p(t)}&=&0\,, \end{array} $}$
    wobei
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclcc} p(t)&=&f_{\dot x\dot x}(t,\overli... ...(t,\overline x_1(t),\dot{\overline x_1}(t))&=&\frac{8}{t^4}\,. \end{array} $}$
    Das Hamiltonsche System
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcc} \dot u&=& -\frac 2 t u + \frac{t^2}{2}v\vspace{3mm}\\ \dot v&=& \frac 2 t v \end{array} $}$
    führt uns sofort auf
    $ \mbox{$\displaystyle v(t) = ct^2 $}$
    mit einer beliebigen Konstanten $ \mbox{$c\in\mathbb{R}$}$ . Im Hinblick auf die Hauptlösung $ \mbox{$(u_0,v_0)$}$ dieses Hamiltonschen Systems, d.h. die Lösung des Systems zu den Anfangswerten $ \mbox{$u_0(1)=0, v_0(1)=1$}$ , erhalten wir also $ \mbox{$v_0(t)=t^2$}$ und die lineare Differentialgleichung erster Ordnung
    $ \mbox{$\displaystyle \dot u = -\frac 2 t u + \frac{t^4}{2}\,. $}$
    Die Lösungen dieser Differentialgleichung sind von der Gestalt
    $ \mbox{$\displaystyle u(t)=\frac{1}{14}t^5 + \frac{d}{t^2} $}$
    mit einer beliebigen Konstanten $ \mbox{$d\in\mathbb{R}$}$ . Also ist die Hauptlösung des Hamiltonschen Systems gegeben durch
    $ \mbox{$\displaystyle \left(u_0,v_0\right) = \left(\frac{1}{14}t^5 - \frac{1}{14t^2}\,,t^2\right). $}$
    Da $ \mbox{$u_0(t)\neq 0$}$ auf $ \mbox{$(1,2]$}$ gilt, folgt aus der hinreichenden Bedingung von Jacobi-Legendre, daß $ \mbox{$\overline x_1$}$ ein schwaches (lokales) Minimum ist.