Aufgabe.

Untersuche für das folgende Variationsproblem alle Lösungen der Eulerschen Differentialgleichung, die die Randbedingungen erfüllen, auf schwache (lokale) Minima.

$ \mbox{$\displaystyle I(x) = \int_1^2 \frac{\sqrt{1+\dot x^2}}{t} \, \text{d}t = \min, \quad x(1)=-2,\; x(2)=-1\,. $}$