Aufgabe.

Gegeben sei das Variationsproblem

$ \mbox{$\displaystyle I(x) = \int_1^4 \left(\dot x^2 - \frac{x^2}{4t^2}\right) \, \text{d}t = \min, \quad x(1)=1,\; x(4)=6\,. $}$
  1. Stelle die Eulersche Differentialgleichung für das obige Problem auf. Bestimme $ \mbox{$\alpha \in \mathbb{R}$}$ so, daß $ \mbox{$x_1(t):=t^\alpha$}$ eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.
  2. Bestimme alle Lösungen der Eulerschen Differentialgleichung, die die Randbedingungen erfüllen.
  3. Untersuche, ob diese Lösungen schwache (lokale) Minima des gegebenen Variationsproblems sind.