Lösung.

Die Eulersche Differentialgleichung liefert

$ \mbox{$\displaystyle \frac{\dot x}{t \sqrt{1+\dot x^2}} = c $}$
für alle $ \mbox{$t \in [1,2]$}$ bis auf endlich viele Punkte mit einer Konstanten $ \mbox{$c\in\mathbb{R}$}$ . Da
$ \mbox{$\displaystyle f_{\dot x \dot x}(t,x(t),\dot x(t)) = \frac{1/t}{(1+\dot x^2(t))^{3/2}} > 0 $}$
für alle $ \mbox{$t \in [1,2]$}$ gilt, ist die verschärfte Legendre-Bedingung für jeden Kandidaten eines schwachen (lokalen) Minimums des gegebenen Variationsproblems erfüllt. Insbesondere besitzt eine zulässige Lösung der Eulerschen Differentialgleichung keine Ecken.
Durch Quadrieren der Eulerschen Differentialgleichung erhalten wir die Bedingung
$ \mbox{$\displaystyle \frac{\dot x^2}{t^2 (1+\dot x^2)} = c^2\; \text{ bzw. }\; \dot x^2 = \frac{c^2t^2}{1-c^2t^2}\,. $}$
Dieser Gleichung entnehmen wir, daß eine zulässige Funktion, die die Randbedingungen erfüllt, ein einheitliches Vorzeichen besitzt. Im Hinblick auf die Randbedingungen bedeutet dies $ \mbox{$c > 0$}$ (genauer: $ \mbox{$0 < c < \frac 1 2$}$ ).
Aus der resultierenden Differentialgleichung
$ \mbox{$\displaystyle \dot x = \frac{ct}{\sqrt{1-c^2t^2}}\ \text{ auf } [1,2] $}$
erhalten wir unmittelbar durch Integration
$ \mbox{$\displaystyle x(t) = \frac{- \sqrt{1-c^2 t^2}}{c}\, + d\,, \quad t \in [1,2], $}$
mit einer Konstanten $ \mbox{$d\in\mathbb{R}$}$ . Die Randbedingungen $ \mbox{$x(1)=-2$}$ und $ \mbox{$x(2)=-1$}$ führen auf $ \mbox{$c = \frac{1}{\sqrt 5}$}$ und $ \mbox{$d=0$}$ . Somit haben wir einen eindeutigen Kandidaten für ein schwaches (lokales) Minimum des gegebenen Variationsproblems, nämlich
$ \mbox{$\displaystyle \overline x(t) = - \sqrt{5-t^2}\,, \quad t \in [1,2]. $}$
Ferner ist
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclcl} p(t)&=&f_{\dot x \dot x}(t, \ov... ...(t)&=&f_{x x}(t,\overline x(t), \dot{\overline x}(t))&=&0\,. \end{array} $}$
Das zugehörige Hamiltonsche System lautet
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \dot u &=& t (1+\dot{\overline x}^2)^{3/2} v\,,\vspace{3mm}\\ \dot v &=& 0\,. \end{array} $}$
Die Hauptlösung dieses Systems, d.h. die Lösung $ \mbox{$(u_0,v_0)$}$ mit $ \mbox{$u_0(1)=0, v_0(1)=1$}$ , ist gegeben durch $ \mbox{$v_0 \equiv 1$}$ , und der Lösung der Gleichung $ \mbox{$\dot u_0(t) = t (1 + \dot{\overline x}^2(t))^{3/2} = t\left(\frac{5}{5-t^2}\right)^{3/2}\,, \, t \in [1,2]$}$ , mit $ \mbox{$u_0(1)=0$}$ .
Demzufolge ist
$ \mbox{$\displaystyle u_0(t) = 5\sqrt 5\left(\frac{1}{\sqrt{5-t^2}}-\frac 1 2\right) > 0 \text{ f\uml ur alle }t\in (1,2]. $}$
Da $ \mbox{$u_0$}$ keine Nullstellen auf $ \mbox{$(1,2]$}$ besitzt, folgt aus der hinreichenden Bedingung von Jacobi-Legendre, daß $ \mbox{$\overline x$}$ ein schwaches (lokales) Minimum des gegebenen Variationsproblems ist.