Lösung.

Es sei $ \mbox{$x$}$ eine Extremale von $ \mbox{$I(x)$}$ . Dann gilt aufgrund der Eulerschen Differentialgleichung

$ \mbox{$\displaystyle - \, \frac{1}{x \dot x^2} = - \int_0^t \, \frac{1}{x^2 \dot x} \, \text{d} \tau + c, \quad t \in [0,1], $}$
mit einer Konstanten $ \mbox{$c \in \mathbb{R}$}$ . Da der Integrand stetig ist, ist die linke Seite jener Gleichung stetig differenzierbar auf $ \mbox{$[0,1]$}$ . Damit ist zunächst $ \mbox{$\dot x^2$}$ stetig differenzierbar. Da $ \mbox{$\dot x$}$ jedoch im Nenner des Integranden von $ \mbox{$I(x)$}$ steht und nach Voraussetzung stetig ist, besitzt $ \mbox{$\dot x$}$ ein einheitliches Vorzeichen. Folglich ist auch $ \mbox{$\dot x$}$ stetig differenzierbar. Damit ist also $ \mbox{$x \in C^2[0,1]$}$ .

Es bezeichne $ \mbox{$f(t,x,\dot x) = \frac{1}{x\dot x}$}$ den Integranden von $ \mbox{$I(x)$}$ . Wegen $ \mbox{$f_t \equiv 0$}$ ist $ \mbox{$f_{\dot x} \dot x - f$}$ konstant, also folgt

$ \mbox{$\displaystyle \frac{1}{x \dot x} \equiv \text{const.} $}$
Daraus ergibt sich die Differentialgleichung $ \mbox{$\dot x = \frac{d}{x}$}$ mit einer Konstanten $ \mbox{$d \in \mathbb{R}$}$ . Diese besitzt die allgemeine Lösung
$ \mbox{$\displaystyle x(t) = \pm \sqrt{2dt + \widetilde d} $}$
mit einer beliebigen Konstanten $ \mbox{$\widetilde d \in \mathbb{R}$}$ . Im Hinblick auf die Randbedingungen erhalten wir den eindeutigen Kandidaten
$ \mbox{$\displaystyle \overline x(t) = \sqrt{3t+1}\,. $}$
für ein schwaches (lokales) Minimum von $ \mbox{$I(x)$}$ . Da die verschärfte Legendre-Bedingung
$ \mbox{$\displaystyle f_{\dot x \dot x}(t,\overline x(t), \dot{\overline x}(t... ...c{2}{\overline x(t) \dot{\overline x}^3(t)} = \frac{16}{27} \, (3t+1) > 0 $}$
auf $ \mbox{$[0,1]$}$ erfüllt ist, untersuchen wir das Hamiltonsche System
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \dot u &=& Au + Bv\vspace{3mm}\\ \dot v &=& Cu - A^{\text{t}}v \end{array} $}$
mit
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} A(t) &=& - \frac{3}{12t+4}\vspace{... ...rac{27}{16(3t+1)}\vspace{3mm}\\ C(t) &=& \frac{1}{3t+1}\,, \end{array} $}$
d.h.
$ \mbox{$\displaystyle \begin{pmatrix}\dot u\\ \dot v \end{pmatrix} = \tfrac... ...l 1 & \frac 3 4 \end{pmatrix}}_{=:M} \begin{pmatrix}u\\ v \end{pmatrix}. $}$
Wir diagonalisieren die (konstante) Matrix $ \mbox{$M$}$ und erhalten
$ \mbox{$\displaystyle Q^{-1} M Q = \text{diag}\left(\tfrac 3 2, -\tfrac 3 2\right) $}$
mit
$ \mbox{$\displaystyle Q:=\begin{pmatrix}\frac 1 4 & \hfill \frac 3 4 \vspace{2mm}\\ \frac 1 3 & - \frac 1 3 \end{pmatrix}. $}$
Wir substituieren
$ \mbox{$\displaystyle \begin{pmatrix}\widetilde u\\ \widetilde v \end{pmatrix} := Q^{-1} \begin{pmatrix}u\\ v \end{pmatrix} $}$
und erhalten somit das Differentialgleichungssystem
$ \mbox{$\displaystyle \begin{pmatrix}\dot{\widetilde u}\\ \dot{\widetilde v}... ...tfrac 3 2\right) \begin{pmatrix}\widetilde u\\ \widetilde v \end{pmatrix}. $}$
Wir erhalten die allgemeine Lösung
$ \mbox{$\displaystyle \widetilde u(t) = c_1 \sqrt{3t+1}, \quad \widetilde v(t) = c_2 \frac{1}{\sqrt{3t+1}}\,. $}$
Mittels der Resubstitution
$ \mbox{$\displaystyle \begin{pmatrix}u\\ v \end{pmatrix} = Q \begin{pmatrix}\widetilde u\\ \widetilde v \end{pmatrix} $}$
und im Hinblick auf die Hauptlösung des vorliegenden Hamiltonschen Systems erhalten wir
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} u_0(t) &=& \frac{27t}{16\sqrt{3t+1}}\vspace{3mm}\\ v_0(t) &=& \frac{9t+4}{4\sqrt{3t+1}}\,. \end{array} $}$
Da $ \mbox{$u_0$}$ keine Nullstelle auf dem Intervall $ \mbox{$(0,1]$}$ besitzt, ist $ \mbox{$\overline x$}$ gemäß der hinreichenden Bedingung von Jacobi-Legendre ein schwaches (lokales) Minimum von $ \mbox{$I(x)$}$ .