Lösung.

Für den Integranden $ \mbox{$f(t,x,\dot x):=\dot x^2-\frac{x^2}{4t^2}$}$ des gegebenen Variatonsproblems gilt $ \mbox{$f_{\dot x\dot x}>0$}$ , also hat jedes schwache (lokale) Minimum keine Ecken und erfüllt die Eulersche Differentialgleichung

$ \mbox{$\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}t}\dot x=-\frac{x}{4t^2} $}$
auf $ \mbox{$[1,4]$}$ . Daraus ergibt sich, daß ein schwaches (lokales) Minimum zweimal stetig differenzierbar ist.
  1. In der resultierenden Differentialgleichung
    $ \mbox{$\displaystyle \ddot x=-\frac{x}{4t^2} $}$
    setzen wir $ \mbox{$x_1(t)=t^\alpha$}$ ein und erhalten
    $ \mbox{$\displaystyle \alpha (\alpha-1) t^{\alpha-2} = - \tfrac{1}{4}\,t^{\alpha-2}\,. $}$
    Es ist $ \mbox{$\alpha = \frac 1 2$}$ und somit ist $ \mbox{$x_1(t)=\sqrt t$}$ eine Lösung der Eulerschen Differentialgleichung.
  2. Da die Eulersche Differentialgleichung eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, gibt es zwei linear unabhängige Lösungen dieser Gleichung. Es bezeichne also $ \mbox{$x_2$}$ eine zu $ \mbox{$x_1$}$ linear unabhängige Lösung. Da die Eulersche Differentialgleichung nicht explizit den Term $ \mbox{$\dot x$}$ beinhaltet, gilt gemäß der Wronski-Identität
    $ \mbox{$\displaystyle \dot x_1 x_2 - x_1 \dot x_2 \equiv \text{const.} \text{ auf } [1,4], $}$
    also
    $ \mbox{$\displaystyle \dot x_2 = \frac{1}{2t}\; x_2 - \frac{1}{\sqrt t}\,. $}$
    Die Lösungsgesamtheit dieser linearen Differentialgleichung erster Ordnung ist
    $ \mbox{$\displaystyle x_2(t) = c \sqrt t - \sqrt t \log t $}$
    mit einer beliebigen Konstanten $ \mbox{$c \in \mathbb{R}$}$ . Entsprechend ist die Lösungsgesamtheit der Eulerschen Differentialgleichung des gegebenen Variationsproblems
    $ \mbox{$\displaystyle x(t) = c_1 \sqrt t + c_2 \sqrt t \log t $}$
    mit Konstanten $ \mbox{$c_1,c_2 \in \mathbb{R}$}$ . Im Hinblick auf die Randbedingungen erhalten wir den eindeutigen Kandidaten
    $ \mbox{$\displaystyle \overline x(t) = \sqrt t + \frac{1}{\log 2} \, \sqrt t \log t $}$
    für ein schwaches (lokales) Minimum von $ \mbox{$I(x)$}$ .
  3. Es gilt die verschärfte Legendre-Bedingung, wie wir im Aufgabenteil 1. gesehen haben. Mit $ \mbox{$p(t)=2, r(t)=0, q(t)=-\frac{1}{2t^2}$}$ sowie $ \mbox{$A(t)=0, B(t)=\frac 1 2, C(t)=-\frac{1}{2t^2}$}$ ergibt sich das zugehörige Hamiltonsche System zu
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcr} \dot u &=& \frac 1 2 \, v\phantom{\,.}\vspace{3mm}\\ \dot v &=& -\frac{1}{2t^2} \, u\,. \end{array} $}$
    Es ist also $ \mbox{$\ddot u = -\, \frac{1}{4t^2} \, u$}$ , d.h. analog zu den Aufgabenteilen 1. und 2. ist die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung gegeben durch
    $ \mbox{$\displaystyle u(t) = c_1 \sqrt t + c_2 \sqrt t \log t $}$
    mit Konstanten $ \mbox{$c_1,c_2 \in \mathbb{R}$}$ . Im Hinblick auf die Hauptlösung des Hamiltonschen Systems, d.h. die Lösung $ \mbox{$(u_0,v_0)$}$ mit $ \mbox{$u_0(1)=0, \, v_0(1)=2 \dot u_0(1) = 1$}$ , ergibt sich
    $ \mbox{$\displaystyle u_0(t) = \tfrac 1 2 \, \sqrt t \log t. $}$
    Da $ \mbox{$u_0(t) \neq 0$}$ für alle $ \mbox{$t \in (1,4]$}$ ist, folgt mit der hinreichenden Bedingung von Jacobi-Legendre, daß $ \mbox{$\overline x$}$ ein schwaches (lokales) Minimum von $ \mbox{$I(x)$}$ ist.