13.12.2003

Klausur I Lineare Algebra für Informatiker

Hilfsmittel: Ein beliebig beschriebenes Blatt DIN A4. Zeit: 120 Minuten. In der Klausur sind insgesamt 40 Punkte erreichbar. Jede Aufgabe sollte auf einer neuen Seite bearbeitet werden. Wer mehr Papier benötigt, kann jederzeit welches nachbekommen. Aufgabe 1. (5 Punkte)

Es seien σ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 9 & 2 & 4 & 6 & 8 & 5 & 7 & 3 & 1 \end{matrix} ) , τ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 3 & 4 & 1 & 2 & 5 & 6 & 9 & 7 & 8 \end{matrix} ) ∈ S_{9}.

(1) Schreibe σ und τ in Zykelschreibweise. Gib die Ordnung von σ und von τ an.

(2) Berechne σ^{5} ∘ τ^{2} (in Zykelschreibweise).

(3) Bestimme die Signen ε_{σ} und ε_{σ ∘ τ ∘ σ} .

(4) Schreibe τ als Produkt von Transpositionen der Form (j, j + 1), wobei j ∈ [1, 8].

(5) Finde alle Untergruppen U ≤ S_{9} mit #U = 25. Aufgabe 2. (4 Punkte)

(1) Finde ein x ∈ F_{11} ∖ {0} mit {x^{m} | m ∈ Z} = F_{11} ∖ {0}.

(2) Konstruiere einen Körper mit 23 Elementen.

(3) Konstruiere einen Körper mit 25 Elementen.

(4) Bestimme {(x, y, z) ∈ Z × Z × Z | x^{4} + y^{4} = 4z^{4}} und begründe das Resultat.

Aufgabe 3. (4+3 Punkte)

Sei K = F_{2}, und sei V = F_{2}^{5}. Sei T = ⟨(\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})⟩, sei U = ⟨(\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})⟩.

(1) Bestimme eine Basis von T ∩ U.

Berechne damit dim_{F_{2}}(T + U) und entscheide, ob T + U eine direkte Summe ist.

(2) Ergänze die Basis von T ∩ U aus (1) zu einer Basis von T, zu einer Basis von U und zu einer Basis von T + U.

Aufgabe 4. (9 Punkte)

Sei K ein Körper, sei V ein Vektorraum über K, und sei V ^{\overline{}^{φ}} V ein Endomorphismus. Wähle eine Basis von V und gib bezüglich dieser Basis die beschreibende Matrix von φ und die beschreibende Matrix von φ^{2} an. Gib eine Basis von Kern φ und eine Basis von Im φ an.

(1) K = R , V = R^{3} , φ : (\begin{matrix}ξ_{1} \\ ξ_{2} \\ ξ_{3} \end{matrix} ) \overline{}(\begin{matrix}ξ_{2}+ξ_{3} \\ −ξ_{1}+2ξ_{2}+ξ_{3} \\ ξ_{1}−ξ_{2} \end{matrix} ) .

(2) K = R , V = ⟨1, X, X^{2}⟩ ≤ R[X] , φ : f(X) \overline{}f′(X) + f′′(X) .

(3) K = F_{2} , V = F_{8} , φ : ξ \overline{}ξ^{4} + βξ .

Aufgabe 5. (3+2 Punkte)

(1) Bestimme die Ordnung von (\begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & α & α \end{matrix}) ∈ GL_{3}(F_{4}). Hinweis: Sie ist kleiner als 10.

(2) Finde ein Element der Ordnung 3 in GL_{2}(F_{2}).

Aufgabe 6. (1+2+2 Punkte) Begründe die Antwort jeweils.

(1) Wieviele F_{2}-lineare Abbildungen gibt es von F_{2}^{2} nach F_{2}^{3} ?

(2) Wieviele der linearen Abbildungen aus (1) sind injektiv ? Wieviele surjektiv ?

(3) Wieviele Untervektorräume gibt es im F_{2}-Vektorraum F_{2}^{3} ?

Aufgabe 7. (5 Punkte) Zeige oder widerlege.

(1) Seien V, W Vektorräume über einem Körper K, sei V ^{\overline{}^{f}} W eine lineare Abbildung, und sei (x_{1}, …, x_{n}) ein Tupel von Vektoren in V. Ist das Bildtupel (f(x_{1}), …, f(x_{n})) erzeugend in W, so ist auch (x_{1}, …, x_{n}) erzeugend in V.

(2) Sei V ein Vektorraum über einem Körper K mit dim_{K} V = 4, seien U_{1}, U_{2} und U_{3} Untervektorräume in V der Dimension 3. Dann ist U_{1} ∩ U_{2} ∩ U_{3} ≠ 0.

(3) Sei G eine endliche Gruppe, sei m ≥ 1 eine ganze Zahl, die #G teilt. Dann gibt es ein Element der Ordnung m in G.

(4) Sei p prim. In F_{p}[X] gilt X^{p} − X = ∏_{a∈F_{p}}(X − a).

(5) Ist ∑_{j≥0} a_{j}X^{j} ∈ F_{9}[X] irreduzibel, dann ist auch ∑_{j≥0} a_{j}^{3}X^{j} ∈ F_{9}[X] irreduzibel.