14.02.2004

Klausur II Lineare Algebra für Informatiker

Hilfsmittel: Ein beliebig beschriebenes Blatt DIN A4. Zeit: 180 Minuten. In der Klausur sind insgesamt 60 Punkte erreichbar. Jede Aufgabe sollte auf einer neuen Seite bearbeitet werden. Wer mehr Papier benötigt, kann jederzeit welches nachbekommen. Aufgabe 1. (10 Punkte) Sei K ein Körper, sei n ≥ 1 und sei A ∈ K^{n×n}. Bestimme die Determinante und die Inverse von A, falls möglich.

(1) A = (\begin{matrix}1 & ι \\ ι & 1 \end{matrix}) ∈ F_{9}^{2×2}.

(2) A = (\begin{matrix}β & 1 & 0 \\ 1 & 0 & β \\ β^{2} & β^{2} & 1+β^{2} \end{matrix} ) ∈ F_{8}^{3×3}.

(3) A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) ∈ F_{2}^{4×4}.

Aufgabe 2. (1+3+1+1 Punkte)

Sei A = (\begin{matrix}1 & α & α & α^{2} \\ α & α^{2} & 1 & α^{2} \\ 1 & α & 1 & 0 \end{matrix} ) ∈ F_{4}^{3×4}, sei b = (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) ∈ F_{4}^{3}, und sei c = (\begin{matrix}0 \\ α \\ α^{2} \end{matrix} ) ∈ F_{4}^{3}.

(1) Bestimme rk A.

(2) Bestimme eine Basis des Lösungsraums {x ∈ F_{4}^{4} | Ax = 0}.

(3) Bestimme {x ∈ F_{4}^{4} | Ax = b}.

(4) Bestimme {x ∈ F_{4}^{4} | Ax = c}. (Hinweis: forme simultan (A|b|c) um.) Aufgabe 3. (2 × (3+6+1) Punkte) Sei n ≥ 1, und sei A ∈ C^{n×n}. Bestimme jeweils

(a) das charakteristische Polynom χ_{A}(X) von A,

(b) eine Matrix S ∈ GL_{n}(C) derart, daß S^{−1}AS in Jordanscher Normalform ist, und

(c) das Minimalpolynom μ_{A}(X) von A. Die Matrizen seien hierzu gegeben durch

(1) A = (\begin{matrix}0 & 0 & −1 \\ −1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & −2 \end{matrix}) ,

(2) A = (\begin{matrix}−2 & −1 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & −1 & −1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & −1 \end{matrix}) .

Aufgabe 4. (10 Punkte) Sei n ≥ 1, sei A ∈ C^{n×n} hermitesch.

(a) Finde eine unitäre Matrix U so, daß Ū^{t}AU eine Diagonalmatrix ist.

(b) Untersuche A mit (a) auf Definitheit und auf Semidefinitheit.

(c) Falls A positiv oder negativ definit ist, dann bestätige dies mit einem weiteren Kriterium.

Es sind (a, b, c) in den folgenden Fällen durchzuführen.

(1) A = (\begin{matrix}1 & −i \\ i & 1 \end{matrix}).

(2) A = (\begin{matrix}−4 & 1 & 1 \\ 1 & −4 & 1 \\ 1 & 1 & −4 \end{matrix}).

Aufgabe 5. (9 Punkte)

(1) Sei s ∈ R, sei A = (\begin{matrix}1 & s & 1 & s & 1 \\ 0 & 1 & s & 1 & s \\ 0 & 0 & 1 & s & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & s \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) ∈ R^{5×5}.

Berechne den Eintrag von A^{−1} an der Position (1, 5).

(2) Berechne die Elementarteiler von (\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{matrix}) ∈ Z^{3×3}.

(3) Seien a_{0} = 0, a_{1} = 1, a_{2} = 0, und sei a_{n} = 3a_{n−1} − 3a_{n−2} + a_{n−3} für n ≥ 3, wobei a_{n} ∈ C stets. Berechne a_{n} für n ≥ 0.

Aufgabe 6. (5 Punkte) Sei n ≥ 1 und seien A, B ∈ C^{n×n}. Zeige oder widerlege.

(1) Sind A und B nilpotent, so auch A + B.

(2) Sei n = 2. Es gibt eine Matrix A ∈ C^{2×2} mit A^{2} ≠ 0, aber A^{3} = 0.

(3) Ist AB = 0, so ist χ_{A}(X)χ_{B}(X) = X^{n}χ_{A+B}(X).

(4) Ist A^{2} = E, so ist A diagonalisierbar.

(5) Ist A^{2} = E, so ist A unitär diagonalisierbar.