M. Künzer, J. Marhenke Abgabe bis Donnerstag, 08.01.04, 15h30, Briefkasten vor H3

Lineare Algebra für Informatiker, WS 03/04

Blatt 10

Aufgabe 40 (9 Punkte). Sei K ein Körper, sei s ∈ K ein Parameter, seien m, n ≥ 1, und sei A ∈ K^{m×n}. Bestimme den Rang rk A in Abhängigkeit von s, sowie den Kern von φ : K^{n} \overline{}K^{m} : x \overline{}Ax.

(1) K = R, A = (\begin{matrix}1 & 1 & s \\ 3 & 5 & 6s+1 \\ 2 & 3 & 4s+1 \end{matrix}).

(2) K = F_{3}, A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & s^{2}−s+1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & s & s \end{matrix}).

(3) K = F_{8}, A = ( \begin{matrix}βs+β & s+β^{2} & 1 & β^{2}s+β^{3} \\ β^{6} & β^{3} & β^{6} & 1 \\ 1 & 1 & β^{4} & β^{3} \\ βs+β & s+β & β^{5} & β^{2}s+β^{4} \end{matrix} ).

Aufgabe 41 (9 Punkte). Sei K ein Körper, sei n ≥ 1, sei A ∈ GL_{n}(K). Berechne A^{−1}. Berechne zur Probe AA^{−1} und A^{−1}A.

(1) K = R, A = (\begin{matrix}−7 & −12 \\ 4 & 7 \end{matrix}).

(2) K = C, A = (\begin{matrix}1 & i & 1 \\ i & 0 & i \\ i & 1 & 0 \end{matrix}).

(3) K = F_{4}, A = (\begin{matrix}α & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ α & 0 & 0 & 1 \\ 1 & α^{2} & 1 & α \end{matrix}).

Aufgabe 42 (1+1+1+3+1 Punkte). Seien m, n ≥ 1, und sei A = (a_{i,j}) ∈ Z^{m×n}. Sei k ∈ [1, min{m, n}]. Ein k × k-Minor von A ist die Determinante einer k × k-Untermatrix (a_{i_{s},j_{t}})_{s,t} ∈ Z^{k×k} von A, wobei i_{s} < i_{s+1} und j_{t} < j_{t+1} stets. Sei D_{k}(A) ≥ 0 der größte gemeinsame Teiler aller k × k-Minoren von A.

(1) Sei T = (t_{j,u})_{j,u} ∈ GL_{n}(Z). Zeige, daß D_{k}(A) = D_{k}(AT).

(Hinweis: es genügt zu zeigen, daß D_{k}(A) ein Teiler von D_{k}(AT) ist. Dazu genügt es zu zeigen, daß jeder k × k-Minor von AT eine Z-Linearkombination von k × k-Minoren von A ist.)

(2) Seien d_{1}, …, d_{l} Elementarteiler von A. Zeige, daß D_{k}(A) = ∏_{j∈[1,k]} d_{j}, falls k ∈ [1, l] und D_{k}(A) = 0 sonst. Folgere, daß die Elementarteiler einer Matrix, die in Aufgabe 39 (1) als existent nachgewiesen wurden, auch eindeutig festliegen. (Hinweis: Verwende Aufgabe 39 (1) zusammen mit D_{k}(A) = D_{k}(SAT), wie aus (1) folgt.)

(3) Übertrage (1) und (2) sinngemäß auf den Fall einer Matrix A ∈ K[X]^{m×n}.

(4) Überprüfe (1, 2, 3) an den Beispielen in Aufgabe 39 (3).

(5) Sei A_{Q} die Matrix A, gesehen als Element von Q^{m×n}. Sei p prim, und sei A_{F_{p}} die von A repräsentierte Matrix in F_{p}^{m×n}. Zeige, daß rk_{Q} A_{Q} ≥ rk_{F_{p}} A_{F_{p}}. (Hinweis: Smithsche Normalform.)

Aufgabe 43 (4 Punkte). Sei n ≥ 2. Zeige oder widerlege.

(1) Sei A = (i + j)_{i∈[1,n], j∈[1,n]} ∈ R^{n×n}. Es ist rk A = 2.

(2) Sei A = (i · j)_{i∈[1,n], j∈[1,n]} ∈ R^{n×n}. Es ist rk A = 1.

(3) Sei A = (i^{j})_{i∈[1,n], j∈[1,n]} ∈ R^{n×n}. Es ist rk A = n.

(4) Sei K ein Körper mit #K = q Elementen, sei m ≥ n ≥ 1. Die Anzahl der surjektiven K-linearen Abbildungen von K^{m} nach K^{n} ist gleich der Anzahl der injektiven K-linearen Abbildungen von K^{n} nach K^{m}.

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