M. Künzer, J. Marhenke Abgabe bis Donnerstag, 15.01.04, 15h30, Briefkasten vor H3

Lineare Algebra für Informatiker, WS 03/04

Blatt 11

Aufgabe 44 (3 × (2+1+2) Punkte). Sei n ≥ 1, sei K ein Körper, sei s ∈ K ein Parameter, und sei A ∈ K^{n×n}.

(a) Berechne die Determinante det A in Abhängigkeit von s.

(b) Für welche Werte von s ist A singulär?

(c) Bestimme für s ∈ K mit A regulär den Eintrag an Position (1, n) der Inversen A^{−1}, allerdings ohne die komplette Inverse zu berechnen.

(1) A = (\begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 7 \\ 5 & 3 & s \end{matrix}) ∈ R^{3×3}, (2) A = (\begin{matrix}i & 1 & 1 & 1 \\ 0 & i & s & i \\ i & 0 & 1 & 1 \\ 1 & i & i & s \end{matrix}) ∈ C^{4×4}, (3) A = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ ι & 0 & 1 & s & ι \\ s & 1 & 0 & 1 & ι \\ 0 & 1 & ι & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & s \end{matrix}) ∈ F_{9}^{5×5}.

Aufgabe 45 (9 Punkte). Sei n ≥ 1, und sei A ∈ R^{n×n}. Berechne die Determinante det A.

(1) A = ( \begin{matrix}0 & 1 & & 1 & & ··· & 1 \\ 1 & 0 & & 1 & & ··· & 1 \\ & & . & . & . \\ 1 & ··· & & 1 & & 0 & 1 \\ 1 & ··· & & 1 & & 1 & 0 \end{matrix} ) ∈ R^{n×n}, (2) A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & ··· & 0 \\ & & ... & ... & ... \\ 0 & ··· & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & ··· & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & ··· & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) ∈ R^{n×n},

(3) A = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 & 1 & ··· & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & ··· & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & ··· & 1 \\ & & ... & ... & ... \\ 1 & ··· & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & ··· & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & ··· & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) ∈ R^{n×n}.

Aufgabe 46 (4 Punkte). Sei K ein Körper, sei n ≥ 1 und sei A ∈ GL_{n}(K). Sei b ∈ K^{n}, und sei x ∈ K^{n} die nun eindeutige Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems Ax = b. Schreibe b = (ϑ_{i})_{i}, x = (ξ_{i})_{i} und A = (a_{i,j})_{i,j} in Koordinaten. Zeige, daß für i ∈ [1, n]

ξ_{i} = (det A)^{−1} · det (\begin{matrix}a_{1,1} & ⋯ & a_{1,i−1} & ϑ_{1} & a_{1,i+1} & ⋯ & a_{1,n} \\ a_{2,1} & ⋯ & a_{2,i−1} & ϑ_{2} & a_{1,i+1} & ⋯ & a_{1,n} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{n,1} & ⋯ & a_{n,i−1} & ϑ_{n} & a_{n,i+1} & ⋯ & a_{n,n} \end{matrix} )

(Hinweis: Cramer und Laplace. — Manchmal wird auch der Inhalt der vorliegenden Aufgabe als Cramersche Regel bezeichnet. Sie ist zur praktischen Berechnung von x meist wenig hilfreich.) Aufgabe 47 (3 Punkte). Steinitzscher Austauschsatz. Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 1 über einem Körper K, und seien \underline{x} = (x_{1}, …, x_{n}) und \underline{y} = (y_{1}, …, y_{n}) Basen von V. Zeige, daß es für alle k ∈ [1, n] ein j ∈ [1, n] so gibt, daß (x_{1}, …, \underbrace{y_{k}}_{j-te Stelle} , …, x_{n}) und (y_{1}, …, \underbrace{x_{j}}_{k-te Stelle} , …, y_{n}) Basen von V sind. (Hinweis: Laplace.)

Aufgabe 48 (2 Punkte). Sei n ≥ 1, und sei A ∈ R^{n×n}. Zeige oder widerlege.

(1) Es ist A − A^{t} singulär.

(2) Ist n ungerade, so ist A − A^{t} singulär.

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