M. Künzer, J. Marhenke Abgabe bis Donnerstag, 22.01.04, 15h30, Briefkasten vor H3

Lineare Algebra für Informatiker, WS 03/04

Blatt 12

Aufgabe 48 (4+4+4+6 Punkte). Sei n ≥ 1, sei A ∈ C^{n×n}.

(a) Berechne das charakteristische Polynom χ_{A}(X) und die algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte.

(b) Berechne Basen der Eigenräume E_{A}(λ) und die geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte.

(c) Berechne Basen der Haupträume H_{A}(λ) und verifiziere die direkte Zerlegung von C^{n} in Haupträume.

(1) A = (\begin{matrix}5 & −6 & 6 \\ 8 & −11 & 12 \\ 4 & −6 & 7 \end{matrix}), (2) A = (\begin{matrix}−1 & 1 & i \\ −1−i & 1+i & i \\ −1 & 1 & i \end{matrix} ), (3) A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & −1 & 4 & −2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}), (4) A = (\begin{matrix}2 & 0 & −1 & −3 & 0 & 5 \\ 1 & −1 & −1 & −1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ −1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & −2 & −2 & −2 & 1 & 6 \\ −1 & 0 & 1 & 1 & 0 & −1 \end{matrix}).

(Hinweis: Hat f(X) ∈ Z[X] nur ganzzahlige Nullstellen, so teilt jede von ihnen f(0).) Aufgabe 49 (8 Punkte). Berechne χ_{A}(X) und eine Basis der Eigenräume von A.

(1) Sei A = (1)_{j,k} = (\begin{matrix}1 & ⋯ & 1 \\ ⋮ & & ⋮ \\ 1 & ⋯ & 1 \end{matrix}) ∈ C^{n×n}.

(2) Sei n ≥ 1, seien a_{j} ∈ C, und sei A = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & 1 & ⋯ & 0 \\ . & . & . \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & 1 \\ a_{0} & a_{1} & a_{2} & ⋯ & a_{n−1} \end{matrix} ) ∈ C^{n×n} . (Hinweis: faktorisiere χ_{A}(X) =

∏_{j∈[1,k]}(X − λ_{j})^{m_{j}} und rechne mit den aus theoretischen Gründen existenten Nullstellen λ_{j} weiter.)

Aufgabe 50 (2 Punkte). Sei K ein Körper, und sei L = K(X) := \{\frac{f(X)}{g(X)} | f(X) ∈ K[X], g(X) ∈ K[X] ∖ \{0\}\} der Körper der rationalen Funktionen über K (wobei die üblichen Bruchrechenregeln gelten). Untersuche L auf algebraische Abgeschlossenheit, d.h. untersuche, ob es ein Polynom ohne Nullstellen von Grad ≥ 2 im Polynomring L[Y] gibt. Aufgabe 51 (5 Punkte). Sei n ≥ 1, seien A, B ∈ C^{n×n}. Zeige oder widerlege.

(1) Die Summe zweier Eigenvektoren von A ist wiederum ein Eigenvektor von A.

(2) Ist x ein Eigenvektor von A und von B, so auch von A + B.

(3) Sind x, y und z Eigenvektoren von A zu verschiedenen Eigenwerten, so ist (x, y, z) linear unabhängig.

(4) Sind ξ, η ∈ C, so gibt es eine Matrix A ∈ C^{2×2} mit det A = ξ und tr A = η.

(5) Ist rk A = m < n, so hat 0 die geometrische Vielfachheit n − m als Eigenwert von A.

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