M. Künzer, J. Marhenke Abgabe bis Donnerstag, 29.01.04, 15h30, Briefkasten vor H3

Lineare Algebra für Informatiker, WS 03/04

Blatt 13

Aufgabe 52 (4+4+6+8 Punkte).

Sei n ≥ 1, sei A ∈ C^{n×n}. Gib eine Matrix S ∈ GL_{n}(C) so an, daß S^{−1}AS in Jordanform ist. Gib das Minimalpolynom μ_{A}(X) von A an.

(1) A = (\begin{matrix}−2 & 3 & 1 \\ −1 & 2 & 1 \\ −2 & 2 & 1 \end{matrix}), (2) A = (\begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ −2 & 1 & 0 \\ 1 & −1 & 0 \end{matrix}), (3) A = (\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & −1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}),

(4) A = (\begin{matrix}−1 & 1 & 0 & 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −1 & 0 \\ −1 & −1 & 1 & 1 & 1 & 2 & −1 \end{matrix}).

Aufgabe 53 (8 Punkte).

Berechne a_{n} ∈ C für n ≥ 0.

(1) Seien a_{0} = 0, a_{1} = 1, a_{2} = 0, und sei a_{n} = 2a_{n−3} + 3a_{n−2} für n ≥ 3.

(2) Seien a_{0} = 1, a_{1} = 0, a_{2} = 0, a_{3} = 0, und sei a_{n} = 2a_{n−1} − 2a_{n−3} + a_{n−4} für n ≥ 4.

Aufgabe 54 (1+1+1+4 Punkte).

Sei K algebraisch abgeschlossen.

(1) Seien n, m ≥ 1, sei A ∈ K[X]^{n×n} mit det A ≠ 0, und sei B ∈ K[X]^{m×m} mit det B ≠ 0. Für λ ∈ K sei δ_{i}^{A}(λ) ≥ 0 der Exponent des Linearfaktors (X − λ) im i-ten Elementarteiler

d_{i}^{A}(X) von A. Sei C = (\begin{matrix}A & 0 \\ 0 & B \end{matrix}).

Zeige, daß (δ_{1}^{C}(λ), …, δ_{n+m}^{C}(λ)) sich aus (δ_{1}^{A}(λ), …, δ_{n}^{A}(λ), δ_{1}^{B}(λ), …, δ_{m}^{B}(λ)) durch aufsteigende Sortierung ergibt. (Hinweis: Verwende Minorencharakterisierung aus Aufgabe 42.)

(2) Sei A = λE_{n}+N_{n} ∈ K^{n×n} ein Jordanblock, und sei XE−A ∈ K[X]^{n×n} seine charakteristische Matrix. Zeige, daß das Tupel der Elementarteiler von XE−A gleich (1, …, 1, (X−λ)^{n}) ist. (Hinweis: Verwende Minorencharakterisierung aus Aufgabe 42.)

(3) Sei A ∈ K^{n×n}. Zeige, daß μ_{A}(X) der n-te Elementarteiler von XE −A ist, und daß χ_{A}(X) das Produkt aller Elementarteiler von XE − A ist. (Hinweis: Verwende (1, 2). Warum dürfen wir voraussetzen, daß A in Jordanform ist?)

(4) Berechne die Elementarteiler der charakteristischen Matrix XE −A, mit A wie in Aufgabe 52 (1, 2, 3, 4).

Aufgabe 55 (3 Punkte).

Sei n ≥ 1, seien A, B ∈ C^{n×n}. Zeige oder widerlege.

(1) Sind A und B diagonalisierbar, so auch A + B.

(2) Ist A invertierbar, und haben alle Eigenwerte von A geometrische Vielfachheit 1, so haben auch alle Eigenwerte von A^{−1} geometrische Vielfachheit 1.

(3) Es ist A^{t} konjugiert zu A.

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