M. Künzer, J. Marhenke Abgabe bis Donnerstag, 05.02.04, 15h30, Briefkasten vor H3

Lineare Algebra für Informatiker, WS 03/04

Blatt 14

Aufgabe 56 (9 Punkte). Sei n ≥ 1, sei A ∈ C^{n×n}, und seien z, w ∈ C Parameter. Bestimme die z, w ∈ C mit A

(a) normal,

(b) unitär,

(c) hermitesch.

(1) A = \frac{1}{2} (\begin{matrix}z+1 & z−1 \\ z−1 & z+1 \end{matrix}) ∈ C^{2×2} (kein w).

(2) A = \frac{1}{9} (\begin{matrix}8−3z & −2 & 2−6z \\ −2 & 5+3z & 4−6z \\ 2−6z & 4−6z & 5 \end{matrix}) ∈ C^{3×3} (kein w).

(3) A = (\begin{matrix}1 & 0 & z \\ 0 & 1 & 1 \\ z & w & 1 \end{matrix}).

Aufgabe 57 (8 Punkte). Sei n ≥ 0, sei U ≤ C^{n}. Bestimme eine Orthonormalbasis von U.

(1) U = ⟨(\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})⟩ ≤ C^{4}.

(2) U = ⟨(\begin{matrix}i \\ 1 \\ 0 \\ −i \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ i \\ 1 \\ −i \end{matrix})⟩ ≤ C^{5}.

Aufgabe 58 (4 Punkte). Sei σ ∈ S_{n} eine Permutation. Bestimme die Eigenwerte der Permutationsmatrix π(σ) ∈ C^{n×n} in Abhängigkeit von der Zykeldarstellung von σ. (Hinweis: Man kann sich im wesentlichen auf den Fall σ = (1, 2, 3, …, m) für ein m ∈ [1, n] zurückziehen. Verwende Aufgabe 49.) Aufgabe 59 (1+1+1+1+2+2+2 Punkte). Sei n ≥ 1, seien A, B ∈ C^{n×n}. Zeige oder widerlege.

(1) Ist A hermitesch und B unitär, so ist AB normal.

(2) Ist A unitär und hermitesch, so ist A^{2} = E.

(3) Ist A^{2} − A − 2E = 0, so ist A diagonalisierbar.

(4) Sind A und B nilpotent, so auch AB.

(5) Es ist die Blockdiagonalmatrix (\begin{matrix}A & 0 \\ 0 & B \end{matrix}) diagonalisierbar genau dann, wenn A und B diagonalisierbar sind.

(6) Ist AB = BA, und sind A und B diagonalisierbar, so gibt es eine Matrix S ∈ GL_{n}(C) mit S^{−1}AS und zugleich S^{−1}BS in Diagonalform.

(7) Ist AB = BA, so gibt es eine Matrix S ∈ GL_{n}(C) mit S^{−1}AS und zugleich S^{−1}BS in

Jordanform.

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