Klausur II, Samstag, 14.02.2004, 9h, Dauer 180 min. Hilfsmittel: 1 Blatt.

Inhalt: Schwerpunkt Übungsblätter 9-15.

Hörsaaleinteilung nach Nachnamen: H 22: A - Hof, H 3: Hog - Mz, H 1: N - Schl, H 2: Schm - Z. M. Künzer, J. Marhenke Abgabe bis Donnerstag, 12.02.04, 13h30 (!), Briefkasten vor H3

Lineare Algebra für Informatiker, WS 03/04

Blatt 15

Aufgabe 60 (20 Punkte). Sei n ≥ 1, sei A ∈ C^{n×n}. Falls möglich, gib eine unitäre Matrix U ∈ U_{n}(C) so an, daß Ū^{t}AU Diagonalgestalt annimmt. Falls dies nicht möglich ist, so finde zumindest noch eine unitäre Matrix U ∈ U_{n}(C) so, daß Ū^{t}AU eine obere Dreiecksmatrix ist. Falls A hermitesch ist, dann untersuche A auf Definitheit und Semidefinitheit. (Hinweis: Eigenwerte!)

(1) A = (\begin{matrix}1 & 3 & 4i \\ 3 & 1 & 0 \\ −4i & 0 & 1 \end{matrix}) ∈ C^{3×3}.  (2) A = (\begin{matrix}1 & i & 1 & −i \\ i & 1 & −i & 1 \\ 1 & −i & 1 & i \\ −i & 1 & i & 1 \end{matrix}) ∈ C^{4×4}.  (3) A = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 2i & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) ∈ C^{3×3}.

(4) A = (\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}) ∈ C^{6×6}.

Aufgabe 61 (2+4+4 Punkte). Sei n ≥ 1, und sei A ∈ C^{n×n} hermitesch. Untersuche A auf Definitheit und auf Semidefinitheit, d.h. entscheide, ob A positiv oder negativ definit ist, und entscheide, ob A positiv oder negativ semidefinit ist.

(1) A = (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) ∈ C^{2×2}.

(2) A = (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{matrix}) ∈ C^{3×3}.

(3) A = (\begin{matrix}−1 & 0 & i & −i \\ 0 & −2 & 2 & 1 \\ −i & 2 & −4 & 0 \\ i & 1 & 0 & −2 \end{matrix}) ∈ C^{4×4}.

Aufgabe 62 (7 Punkte). Sei n ≥ 1, und sei A ∈ C^{n×n}. Zeige oder widerlege.

(1) Ist A unitär und A − E nilpotent, so ist A = E.

(2) Ist A = −Ā^{t}, so sind alle ihre Eigenwerte in iR.

(3) Ist A hermitesch, und sind alle ihre Einträge reell und positiv, so ist A positiv semidefinit.

(4) Ist A ∈ R^{n×n}, so ist rk(A − A^{t}) ≡_{2} 0.

(5) Ist A hermitesch und negativ definit, so ist A^{2} hermitesch und positiv definit.

(6) Ist A ∈ R^{n×n} und ist x^{t}Ax = 0 für alle x ∈ R^{n}, so ist A = 0.

(7) Ist x̄^{t}Ax = 0 für alle x ∈ C^{n}, so ist A = 0.

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