M. Künzer, J. Marhenke Abgabe bis Donnerstag, 30.10.03, 15h30, Briefkasten vor H3

Lineare Algebra für Informatiker, WS 03/04

Blatt 2

Aufgabe 5 (6 Punkte). Gegeben seien die folgenden Permutationen aus S_{7}:

σ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 7 & 2 & 1 & 4 & 3 & 6 & 5 \end{matrix} ) und τ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 1 & 3 & 2 & 4 & 6 & 5 & 7 \end{matrix} )

Gib σ, τ, σ^{−1}, τ^{−1}, (σ ∘ τ)^{2} und τ^{m} ∘ σ^{n} für m, n ∈ Z in Zykelschreibweise an und bestimme jeweils Ordnung und Signum.

Aufgabe 6 (6 Punkte). Bezeichne A_{4} := Kern (S_{4} ^{\overline{}^{ε}} \{±1\}) ≤ S_{4}. Verwende nachfolgend nur die Zykelschreibweise.

(1) Erstelle die Verknüpfungstafel für A_{4}.

(2) Finde alle 10 Untergruppen von A_{4} und gib jeweils an, ob diese abelsch sind.

Aufgabe 7 (3+1 Punkte). Sei S_{4} ^{\overline{}^{f}} S_{3} der Gruppenmorphismus, der (1, 2) \overline{}(1, 2), (2, 3) \overline{}(2, 3) und (3, 4) \overline{}(1, 2) schickt. Die Existenz dieses Gruppenmorphismus werde als bekannt vorausgesetzt.

(1) Schreibe jedes Element von S_{4} als Produkt der Elemente (1, 2), (2, 3) und (3, 4) und bestimme so sein Bild unter f.

(2) Bestimme Kern f. Ist f injektiv, surjektiv oder bijektiv?

Aufgabe 8 (2+1 Punkte). Es sei auf der Menge G := R × (R ∖ {0}) die Verknüpfung

(x, y) · (x′, y′) := (x + yx′, yy′)

erklärt.

(1) Zeige, dass (G, ·) eine Gruppe bildet.

(2) Zeige, dass U := { (x, 1) | x ∈ R} ≤ G und V := { (0, y) | y ∈ R ∖ {0}} ≤ G.

Aufgabe 9 (5 Punkte). Sei G ^{\overline{}^{f}} H ein Gruppenmorphismus endlicher Gruppen. Sei Z(G) := {g ∈ G | xg = gx für alle x ∈ G} ≤ G das Zentrum von G. Zeige, oder widerlege mit Gegenbeispiel.

(1) Ist V ≤ H, so ist f^{−1}(V) ≤ G.

(2) Ist g ∈ G, so stimmt die Ordnung von g mit der von f(g) ∈ H überein.

(3) Ist f surjektiv, so ist f(Z(G)) ⊆ Z(H).

(4) Ist G nicht abelsch, so ist Z(G) = {1}.

(5) Ist p prim und teilt p die Anzahl der Elemente von G, so gibt es ein Element der Ordnung p in G. (Hinweis: Sei M := {(g_{1}, g_{2}, …, g_{p}) ∈ G×⋯×G | g_{1}g_{2} ⋯ g_{p} = 1}. Zeige, dass #M durch #G geteilt wird, und dass M stabil unter zyklischer Vertauschung der Tupeleinträge ist.)

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