M. Künzer, J. Marhenke Abgabe bis Donnerstag, 06.11.03, 15h30, Briefkasten vor H3

Lineare Algebra für Informatiker, WS 03/04

Blatt 3

Aufgabe 10 (6 Punkte). Gib die Multiplikationstafeln von Z/5Z, Z/6Z und Z/8Z an. Aufgabe 11 (4 Punkte).

(1) Finde alle x ∈ Z/13Z mit {x^{m} | m ∈ Z} = (Z/13Z) ∖ {0}.

(2) Gib G := {x ∈ Z/13Z | x^{4} = 1} an. Zeige, dass G mit der Multiplikation aus dem Ring Z/13Z eine Gruppe bildet, und gib ihre Multiplikationstafel an.

Aufgabe 12 (2+1+1+1 Punkte).

(1) Sind R und S Ringe, so zeige man, dass R × S mit der Addition (r, s) + (r′, s′) := (r + r′, s + s′) und der Multiplikation (r, s) · (r′, s′) := (rr′, ss′), wobei r, r′ ∈ R, s, s′ ∈ S, wieder einen Ring bildet, und dass R × {0} = {(x, 0) | x ∈ R} ⊆ R × S darin ein Ideal ist.

(2) Seien u, v ≥ 2 teilerfremde ganze Zahlen; d.h. es gebe keine Primzahl, die u und v teilt.

Zeige, dass die Abbildung

Z/uvZ ^{\overline{}^{φ}}  Z/uZ × Z/vZ
x + uvZ \overline{}(x + uZ , x + vZ)

bijektiv ist. Hierbei haben wir zwecks besserer Unterscheidung die Restklasse von x ∈ Z in Z/uZ als x̄ = x + uZ geschrieben, und ähnlich in den anderen beiden Ringen. (Hinweis: wieso genügt Injektivität?)

(3) Seien a, b ∈ Z beliebig. Zeige mit (2), dass es ein x ∈ Z gibt mit x ≡_{u} a und x ≡_{v} b.

(4) Finde ein x ∈ Z mit x ≡_{15} 5 und x ≡_{22} 1. Aufgabe 13 (4.5 Punkte).

(1) Zeige, dass {(x, y, z) ∈ Z × Z × Z | x^{5} + 2y^{5} = 5z^{5}} = {(0, 0, 0)}. In anderen Worten, zeige, dass x^{5} + 2y^{5} = 5z^{5} in den ganzen Zahlen nur trivial lösbar ist. (Hinweis: betrachte modulo 11.)

(2) Zeige, dass {(x, y, z) ∈ Z × Z × Z | x^{3} + 2y^{3} = 4z^{3}} = {(0, 0, 0)}. (Hinweis: betrachte modulo 2, betrachte dann modulo 4, betrachte dann modulo 8.)

(3) Sei p ≥ 5 prim. Zeige, dass {(x, y, z) ∈ Z × Z × Z | x^{p−1} + y^{p−1} = 3z^{p−1}} = {(0, 0, 0)}. Aufgabe 14 (4 Punkte). Zeige, oder widerlege mit Gegenbeispiel.

(1) Sei n ≥ 1, sei σ ∈ S_{4n} durch i \overline{}4n + 1 − i definiert, i ∈ [1, 4n]. Dann ist ε_{σ} = 1.

(2) Sei n ≥ 1. Für σ ∈ S_{n} ist σ^{n!} = 1.

(3) Ist x Element eines kommutativen Rings, und ist x^{2} = x, so ist x ∈ {0, 1}.

(4) In einem kommutativen Ring R mit 1 < #R < ∞ gibt es ein Ideal I so, dass R/I ein

Körper ist.

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