M. Künzer, J. Marhenke Abgabe bis Donnerstag, 13.11.03, 15h30, Briefkasten vor H3

Lineare Algebra für Informatiker, WS 03/04

Blatt 4

Aufgabe 15 (6 Punkte). Gib die Additionstafel und die Multiplikationstafel von F_{4} an. Gib die Multiplikationstafeln von F_{8} und F_{9} an. Aufgabe 16 (6 Punkte). Berechne.

(1) In C : (1 + i)^{3}, (1 + 2i)^{−1}.

(2) In F_{4}: (1 + α)^{5}, α^{−2}.

(3) In F_{9}: (1 + ι)^{7}, ∑_{x∈F_{9}} x^{2}.

(4) In F_{8}: (1 + β + β^{2})^{−1}, sowie x^{14} für alle x ∈ F_{8}. Aufgabe 17 (6 Punkte). Ist der Ring R ein Körper? Begründe! Falls R endlich ist, gib #R an.

(1) R = Z/119Z.

(2) R = C[X]/(X^{2} + 1)C[X].

(3) R = F_{5}[X]/(X^{3} + X^{2} + 1)F_{5}[X].

(4) R = F_{2}[X]/(X^{4} + X^{2} + 1)F_{2}[X].

(5) R = F_{4}[X]/(X^{3} + α)F_{4}[X].

(6) R = F_{3}[X]/(X^{4} + X^{2} + X + 1)F_{3}[X]. Aufgabe 18 (3 Punkte). Wieviele irreduzible Polynome von Grad d gibt es in K[X] ? Herleitung des Resultats!

(1) d = 2, K = F_{2}.

(2) d = 3, K = F_{4}.

(3) d = 3, p prim, K = F_{p}. Aufgabe 19 (4 Punkte). Zeige oder widerlege.

(1) Sei p eine Primzahl. Ein Polynom f(X) ∈ F_{p}[X] ist irreduzibel genau dann, wenn {x ∈ F_{p} | f(x) = 0} = ∅.

(2) Sei p prim, und seien f(X), g(X) ∈ F_{p}[X]. Es ist f(X) = g(X) genau dann, wenn f(x) = g(x) für alle x ∈ F_{p}.

(3) Seien f(X), g(X) ∈ R[X]. Es ist f(X) = g(X) genau dann, wenn f(x) = g(x) für alle x ∈ R.

(4) Es gibt kein irreduzibles Polynom von Grad 6 in F_{2}[X].

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