M. Künzer, J. Marhenke Abgabe bis Donnerstag, 20.11.03, 15h30, Briefkasten vor H3

Lineare Algebra für Informatiker, WS 03/04

Blatt 5

Aufgabe 20 (7.5 Punkte). Sei K ein Körper, sei V ein Vektorraum über K. Entscheide, ob das Tupel \underline{x} von Vektoren von V linear unabhängig ist.

(1) K = R, V = R^{2}, \underline{x} = ((\begin{matrix}3 \\ −1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix})).

(2) K = R, V = R^{3}, \underline{x} = ((\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ −3 \\ 1 \end{matrix})).

(3) K = F_{5}, V = F_{5}^{3}, \underline{x} = ((\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ −3 \\ 1 \end{matrix})).

(4) K = F_{2}, V = F_{8}, \underline{x} = (β^{3}, β^{4}, β^{5}).

(5) K = F_{8}, V = F_{8}, \underline{x} = (β^{3}, β^{4}, β^{5}). Aufgabe 21 (8 Punkte). Sei K ein Körper, sei V ein Vektorraum über K. Sei \underline{x} ein Tupel von Vektoren in V. Entscheide, ob y in dessen Erzeugnis liegt, d.h. ob y ∈ ⟨\underline{x}⟩.

(1) K = R, V = R^{2}, \underline{x} = ((\begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−1 \\ 1 \end{matrix})), y = (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}).

(2) K = C, V = C^{3}, \underline{x} = ((\begin{matrix}0 \\ −1 \\ i \end{matrix}) , (\begin{matrix}−1 \\ i \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix})), y = (\begin{matrix}−i \\ 1 \\ i \end{matrix}).

(3) K = F_{9}, V = F_{9}^{3}, \underline{x} = ((\begin{matrix}0 \\ −1 \\ ι \end{matrix}) , (\begin{matrix}−1 \\ ι \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix})), y = (\begin{matrix}−ι \\ 1 \\ ι \end{matrix}).

(4) K = F_{2}, V = F_{2}[X], \underline{x} = ((X + 1)^{2}, (X + 1)^{3}, (X + 1)^{4}), y = X^{3} + X. Aufgabe 22 (1+1+2 Punkte). Sei p prim, sei M_{p} die Menge der Abbildungen von F_{p} nach F_{p}.

(1) Zeige, daß die Abbildung

\begin{matrix}F_{p}[X]/(X^{p} − X)F_{p}[X] & ^{\overline{}^{φ}} & M_{p} \\ \overline{f(X)} & \overline{} & (x \overline{}f(x)) \end{matrix}

existiert. D.h. zeige, daß zwei Repräsentanten derselben Restklasse auf dasselbe Element abgebildet werden.

(2) Zeige, daß φ bijektiv ist. (Hinweis: Wieso genügt injektiv?)

(3) Bestimme für gegebenes y ∈ F_{p} ein Polynom f_{y}(X) ∈ F_{p}[X] von Grad deg f_{y} ≤ p − 1 so, daß f_{y}(y) = 1 und f_{y}(x) = 0 für x ∈ F_{p} ∖ {y}. Zeige damit erneut, daß φ surjektiv ist.

Aufgabe 23 (5 Punkte). Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und seien x, y, z ∈ V. Zeige oder widerlege.

(1) Ist (x, y) linear abhängig, so auch (x, y, z).

(2) Ist x ≠ 0, ist y ∉ ⟨x⟩ und ist z ∉ ⟨x, y⟩, so ist (x, y, z) linear unabhängig.

(3) Ist (x, y, z) linear unabhängig, so ist x ∉ ⟨y, z⟩.

(4) Ist (x, y, z) linear unabhängig, so auch (x + y, x + z, y + z).

(5) Ist (x + y, x + z, y + z) linear unabhängig, so auch (x, y, z).

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