M. Künzer, J. Marhenke Abgabe bis Donnerstag, 27.11.03, 15h30, Briefkasten vor H3

Lineare Algebra für Informatiker, WS 03/04

Blatt 6

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Aufgabe 24 (8 Punkte). Wähle aus dem Tupel \underline{x} von Vektoren von V eine Basis von ⟨\underline{x}⟩ aus und gib die Dimension von ⟨\underline{x}⟩ an. Ergänze diese Basis von ⟨\underline{x}⟩ zu einer Basis von V.

(1) K = R, V = R^{3}, \underline{x} = ((\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−3 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 5 \\ 7 \end{matrix})).

(2) K = C, V = C^{4}, \underline{x} = ((\begin{matrix}i \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ i \\ −i \\ −i \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})).

(3) K = F_{3}, V = ⟨1, X, X^{2}, X^{3}, X^{4}⟩ ≤ F_{3}[X], \underline{x} = ((X − 1)^{4}, (X − 1)^{3}, X^{4} − X).

(4) K = F_{8}, V = F_{8}^{3}, \underline{x} = ((\begin{matrix}β+1 \\ β^{2}+β \\ β^{2}+1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ β \\ β+1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}β \\ β^{2} \\ β^{2}+β \end{matrix}) , (\begin{matrix}β^{2}+1 \\ 1 \\ β^{2} \end{matrix})).

Aufgabe 25 (9 Punkte). Seien T, U ≤ V Untervektorräume. Gib Basen von T ∩ U und T + U an und entscheide, ob die Summe T + U direkt ist.

(1) K = R, V = R^{3}, T = ⟨(\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ −1 \end{matrix})⟩, U = ⟨(\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})⟩.

(2) K = F_{3}, V = F_{3}^{5}, T = ⟨(\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})⟩, U = ⟨(\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})⟩.

(3) K = F_{4}, V = F_{4}^{5}, T = ⟨(\begin{matrix}1 \\ α \\ 1 \\ 0 \\ α \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})⟩, U = ⟨(\begin{matrix}1 \\ α \\ 0 \\ 1 \\ α \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ α \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})⟩.

Aufgabe 26 (4.5 Punkte). Sei V = K^{n}. Wieviele linear unabhängige Tupel von Länge d gibt es in V ? (Umgeordnete Tupel gelten natürlich als verschieden.) Wieviele verschiedene Basen enthält ein Untervektorraum von V von Dimension d ? Wieviele Untervektorräume von Dimension d gibt es also in V ?

(1) K = F_{3}, n = 2, d = 1.

(2) K = F_{5}, n = 3, d = 2.

(3) p prim, K = F_{p}, n ≥ 1, d ∈ [0, n].

Aufgabe 27 (5 Punkte). Seien U_{1}, U_{2}, U_{3} Untervektorräume von V. Zeige oder widerlege.

(1) Es ist \underline{x} = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) eine Basis von V genau dann, wenn alle x_{j} ≠ 0 sind und V = ⟨x_{1}⟩ ⊕ ⟨x_{2}⟩ ⊕ ⋯ ⊕ ⟨x_{n}⟩ ist.

(2) Ist U_{1} ∩ U_{2} = 0 und U_{1} ∩ U_{3} = 0, so ist auch U_{1} ∩ (U_{2} + U_{3}) = 0.

(3) Ist U_{1} ∩ U_{2} ∩ U_{3} = 0, so ist die Summe U_{1} + U_{2} + U_{3} direkt.

(4) Ist U_{1} ∩ U_{2} = 0, U_{1} ∩ U_{3} = 0 und U_{2} ∩ U_{3} = 0, so ist die Summe U_{1} + U_{2} + U_{3} direkt.

(5) Ist U_{1} ∩ U_{2} = 0 und (U_{1} + U_{2}) ∩ U_{3} = 0, so ist die Summe U_{1} + U_{2} + U_{3} direkt.

www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/kuenzer/WS03