M. Künzer, J. Marhenke Abgabe bis Donnerstag, 04.12.03, 15h30, Briefkasten vor H3

Lineare Algebra für Informatiker, WS 03/04

Blatt 7

Aufgabe 28 (9 Punkte). Sei V ^{\overline{}^{f}} W eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen V und W über dem Körper K. Entscheide, ob f injektiv oder surjektiv ist. Gib eine Basis von Kern f und von Im f an.

(1) K = R, V = R^{3}, W = R^{3}, f : (\begin{matrix}ξ_{1} \\ ξ_{2} \\ ξ_{3} \end{matrix} ) \overline{}(\begin{matrix}ξ_{1}−ξ_{2} \\ ξ_{2}−ξ_{3} \\ ξ_{3}−ξ_{1} \end{matrix} ).

(2) K = F_{9}, V = F_{9}^{4}, W = F_{9}^{3}, f : (\begin{matrix}ξ_{1} \\ ξ_{2} \\ ξ_{3} \\ ξ_{4} \end{matrix} ) \overline{}(\begin{matrix}ιξ_{1}−ξ_{2} \\ ιξ_{2}−ξ_{3} \\ ιξ_{3}−ξ_{4} \end{matrix} ).

(3) K = F_{3}, V = F_{9}, W = F_{9}, f : ξ \overline{}ξ^{3} − ξ. Aufgabe 29 (9 Punkte). Sei K ein Körper, sei K[X] ^{\overline{}^{φ}} K[X] eine Abbildung. Untersuche φ auf Linearität, Injektivität und Surjektivität.

(1) K = R, φ : f(X) \overline{}(X · f(X))′.

(2) K = F_{5}, φ : f(X) \overline{}(X · f(X))′.

(3) K = C, φ : f(X) \overline{}f(X^{3}).

(4) K = C, φ : f(X) \overline{}f(X)^{3}.

(5) K = F_{3}, φ : f(X) \overline{}f(X)^{3}.

(6) K = C, φ : f(X) \overline{}f(f(f(X))) ( =: f^{3}(X) ). Aufgabe 30 (4 Punkte).

(1) Wieviele injektive F_{3}-lineare Abbildungen gibt es von F_{3}^{3} nach F_{3}^{4} ?

(2) Wieviele surjektive F_{3}-lineare Abbildungen gibt es von F_{3}^{4} nach F_{3}^{3} ? Aufgabe 31 (4 Punkte). Seien U, V, W endlichdimensionale Vektorräume über einem Körper K. Zeige oder widerlege.

(1) Sei V ^{\overline{}^{f}} W eine lineare Abbildung, und sei (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) ein Tupel von Vektoren in V. Ist (f(x_{1}), f(x_{2}), …, f(x_{n})) linear unabhängig, so auch (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}).

(2) Seien U ^{\overline{}^{f}} V und V ^{\overline{}^{g}} W surjektive lineare Abbildungen.

Es ist dim Kern f + dim Kern g = dim Kern(g ∘ f).

(3) Seien U ^{\overline{}^{f}} V und V ^{\overline{}^{g}} W lineare Abbildungen.

Es ist dim Kern f + dim Kern g = dim Kern(g ∘ f).

(4) Sei V ^{\overline{}^{f}} V eine lineare Abbildung. Es gibt ein n ≥ 1 mit Im f^{n} = Im f^{n+1}.

Ferner, für dasselbe n ist auch Kern f^{n} = Kern f^{n+1}.

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