Klausur I, Samstag, 13.12.2003, 9h, Dauer 120 min. Hilfsmittel: 1 Blatt. Inhalt: Übungsblätter 1-8. Hörsaaleinteilung nach Nachnamen: H 6: A - Bia, H 11: Bie - Ga, H 12: Ge - Ho, H 14: Hu - Man, H 15: Mau - Rom, H 16: Rot - Sta, H 20: Sti - Z.

M. Künzer, J. Marhenke Abgabe bis Donnerstag, 11.12.03, 15h30, Briefkasten vor H3

Lineare Algebra für Informatiker, WS 03/04

Blatt 8

Aufgabe 32 (6 Punkte).

Seien A, B und C Matrizen mit Einträgen in einem Körper K. Berechne ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, sofern definiert.

(1) K = R, A = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & −2 \end{matrix}), B = (\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{matrix}), C = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix}).

(2) K = F_{4}, A = (\begin{matrix}1 & 1 & α \\ α+1 & 1 & α \\ 0 & α & 0 \end{matrix}), B = (\begin{matrix}α & 0 \\ 1 & α \\ 1 & 1+α \end{matrix}), C = (\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ α & α & 1 \end{matrix}).

Aufgabe 33 (8 Punkte).

Sei V ^{\overline{}^{φ}} V eine Endomorphismus des Vektorraums V über dem Körper K. Gib die beschreibenden Matrizen A(φ)_{\underline{y},\underline{y}} und A(φ^{3})_{\underline{y},\underline{y}} bezüglich der Basis \underline{y} von V an.

(Erinnerung: φ^{3} := φ ∘ φ ∘ φ, Hinweis: A(φ^{3})_{\underline{y},\underline{y}} = (A(φ)_{\underline{y},\underline{y}})^{3}.)

(1) K = C, V = C^{3}, \underline{y} = ((\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})), φ : (\begin{matrix}ξ_{1} \\ ξ_{2} \\ ξ_{3} \end{matrix} ) \overline{}(\begin{matrix}(1+i)ξ_{1}+(1+i)ξ_{2}+iξ_{3} \\ −iξ_{1}−iξ_{2}+(1−i)ξ_{3} \\ −ξ_{1}−ξ_{2}−ξ_{3} \end{matrix} ).

(2) K = F_{7}, V = F_{7}^{3}, \underline{y} = ((\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})), φ : (\begin{matrix}ξ_{1} \\ ξ_{2} \\ ξ_{3} \end{matrix} ) \overline{}(\begin{matrix}3ξ_{1}+2ξ_{2}−3ξ_{3} \\ 3ξ_{1}+ξ_{2}−2ξ_{3} \\ −3ξ_{1}+ξ_{2}−3ξ_{3} \end{matrix} ).

(3) K = R, V = ⟨1, X, X^{2}⟩ ≤ R[X], \underline{y} = (1, (1 + X), (1 + X)^{2}), φ : f(X) \overline{}(f(X^{2}))′′.

(4) K = F_{5}, V = F_{125} := F_{5}[X]/(X^{3} + X + 1)F_{5}[X], γ := \overline{X}, φ : ξ \overline{}ξ^{5}, \underline{y} = (1, γ, γ^{2}).

Aufgabe 34 (4 Punkte).

(1) Berechne die Ordnung von (\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}) ∈ GL_{3}(F_{3}).

(2) Gib ein Element der Ordnung 5 in GL_{2}(F_{9}) an.

Aufgabe 35 (8 Punkte).

Zeige oder widerlege.

(1) Sei p ≥ 3 prim. Es gibt ein a ∈ F_{p} derart, daß X^{2} − a ∈ F_{p}[X] irreduzibel ist.

(2) Sei K ein endlicher Körper. Es ist lim_{n→∞} #(GL_{n}(K))/#(K^{n×n}) = 1.

(3) Sei V = R[X], aufgefaßt als Vektorraum über R.

Es ist End_{R} R[X] endlichdimensional über R.

(4) Sei V ^{\overline{}^{f}} W eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen V und W über einem Körper K. Es ist f surjektiv genau dann, wenn es eine injektive lineare Abbildung V ^{\overline{}^{g}} W mit f ∘ g = 1_{W} gibt.

(5) Sei n ≥ 1, und sei A ∈ R^{n×n}. Ist A^{2} = 0, so ist auch A = 0.

(6) Sei n ≥ 1, und sei A ∈ R^{n×n}. Ist A^{t}A = 0, so ist auch A = 0.

(7) Sei A ∈ F_{7}^{2×2}. Ist A^{t}A = 0, so ist auch A = 0.

(8) Sei A ∈ F_{7}^{3×3}. Ist A^{t}A = 0, so ist auch A = 0.

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